三角函數(shù)復(fù)習(xí)教案
三角函數(shù)復(fù)習(xí)教案
【摘要】歡迎來到數(shù)學(xué)網(wǎng)高三數(shù)學(xué)教案欄目，教案邏輯思路清晰，符合認(rèn)識規(guī)律,培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)習(xí)慣和能力。本文題目：高三理科數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教案：三角函數(shù)總復(fù)習(xí)教學(xué)案
高考導(dǎo)航
考試要求 重難點擊 命題展望
1.了解任意角的概念和弧度制的概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化.
2.理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.
3.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出 ，的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式，能畫出y=sin x， y=cos x ， y=tan x的圖象，了解三角函數(shù)的周期性.
4.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2]上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值、圖象與x軸的交點等)，理解正切函數(shù)在(- , )上的單調(diào)性.
5.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x+cos2x=1 ， =tan x.
6.了解函數(shù)y=Asin(x+)的物理意義，能畫出函數(shù)y=Asin(x+)的圖象，了解參數(shù)A，，對函數(shù)圖象變化的影響.
7.會用三角函數(shù)解決一些簡單實際問題，體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型.
8.會用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式，會用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，能運用上述公式進(jìn)行簡單的恒等變換(包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶).
9.掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題，能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題. 本章重點：1.角的推廣，三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式的運用;2.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，y=Asin(x+)
(0)的性質(zhì)、圖象及變換;3.用三角函數(shù)模型解決實際問題;4.以和、差、倍角公式為依據(jù)，提高推理、運算能力;5.正、余弦定理及應(yīng)用.
本章難點：1.任意角的三角函數(shù)的幾何表示，圖象變換與函數(shù)解析式變換的內(nèi)在聯(lián)系;2.靈活運用三角公式化簡、求值、證明; 3.三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷，最值的求法;4.探索兩角差的余弦公式;5.把實際問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題. 三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型.三角函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)是高考數(shù)學(xué)必考的基礎(chǔ)知識之一.在高考中主要考查對三角函數(shù)概念的理解;運用函數(shù)公式進(jìn)行恒等變形、化簡、求值、證明三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及圖象變換、作圖、識圖等.解三角形的問題往往與其他知識(如立體幾何、解析幾何、向量等)相聯(lián)系，考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，體現(xiàn)以能力立意的高考命題原則.
知識網(wǎng)絡(luò)
5.1 任意角的三角函數(shù)的概念
典例精析
題型一 象限角與終邊相同的角
【例1】若是第二象限角，試分別確定2、 的終邊所在的象限.
【解析】因為是第二象限角，
所以k 360+90
因為2k 360+18022k 360+360(kZ)，故2是第三或第四象限角，或角的終邊在y軸的負(fù)半軸上.
因為k 180+452
當(dāng)k=2n(nZ)時，n 360+452
當(dāng)k=2n+1(nZ)時，n 360+2252
所以2是第一或第三象限角 .
【點撥】已知角所在象限，應(yīng)熟練地確定2所在象限.
如果用1、2、3、4分別表示第一、二、三、四象限角，則12、22、32、42分布如圖，即第一象限角的半角是第一或第三 象限角(其余略)，熟記右圖，解有關(guān)問題就方便多了.
【變式訓(xùn)練1】若角2的終邊在x軸上方，那么角是()
A.第一象限角 B.第一或第二象限角
C.第一或第三象限角 D.第一或第四象限角
【解析】由題意2k22k，kZ，
得k
當(dāng)k是奇數(shù)時，是第三象限角.
當(dāng)k是偶數(shù)時，是第一象限角.故選C.
題型二 弧長公式，面積公式的應(yīng)用
【例2】已知一扇形的中心角是，所在圓的半徑是R.
(1)若=60，R=10 cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積;
(2)若扇形的周長是一定值C(C0)，當(dāng)為多少弧度時，該扇形的面積有最大值?并求出這個最大值.
【解析】(1)設(shè)弧長為l，弓形面積為S弓，
因為=603，R=10 cm，所以l=103 cm，
S弓=S扇-S=1210103-12102sin 60=50(3-32) cm2.
(2)因為C=2R+l=2R+R，所以R=C2+，
S扇=12R2=12(C2+)2=C22 2+4+4=C22 1+4+4C216，
當(dāng)且僅當(dāng)=4時，即=2(=-2舍去)時，扇形的面積有最大值為C216.
【點撥】用弧長公式l= || R與扇形面積公式S=12lR=12R2||時，的單位必須是弧度.
【變式訓(xùn)練2】已知一扇形的面積為定值S，當(dāng)圓心角為多少弧度時，該扇形的周長C有最小值?并求出最小值.
【解析】因為S=12Rl，所以Rl=2S，
所以周長C=l+2R22Rl=24S=4S，
當(dāng)且僅當(dāng)l=2R時，C=4S，
所以當(dāng)=lR=2時，周長C有最小值4S.
題型三 三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)線的應(yīng)用
【例3】(1)已知角的終邊與函數(shù)y=2x的圖象重合，求sin (2)求滿足sin x32的角x的集合.
【解析】(1)由 交點為(-55，-255)或(55，255 )，
所以sin =255.
(2)①找終邊：在y軸正半軸上找出點(0，32)，過該點作平行于x軸的平行線與單位圓分別交于P1、P2兩點，連接OP1、OP2，則為角x的終邊，并寫出對應(yīng)的角.
②畫區(qū)域：畫出角x的終邊所在位置的陰影部分.
�、蹖懠希核蠼莤的集合是{x|2k32k3，kZ}.
【點撥】三角函數(shù)是用角的終邊與單位圓交點的坐標(biāo)來定義的，因此，用定義求值，轉(zhuǎn)化為求交點的問題.利用三角函數(shù)線證某些不等式或解某些三角不等式更簡潔、直觀.
【變式訓(xùn)練3】函數(shù)y=lg sin x+cos x-12的定義域為.
【解析】
所以函數(shù)的定義域為{x|2k
總結(jié)提高
1.確定一個角的象限位置，不僅要看角的三角函數(shù)值的符號，還要考慮它的函數(shù)值的大小.
2.在同一個式子中所采用的量角制度必須相一致，防止出現(xiàn)諸如k3603的錯誤書寫.
3.三角函數(shù)線具有較好的幾何直觀性，是研究和理解三角函數(shù)的一把鑰匙.
5.2 同角三角函數(shù)的關(guān)系、誘導(dǎo)公式
典例精析
題型一 三角函數(shù)式的化簡問題
【點撥】運用誘導(dǎo)公式的關(guān)鍵是符號，前提是將視為銳角后，再判斷所求角的象限.
【變式訓(xùn)練1】已知f(x)=1-x，4，)，則f(sin 2)+f(-sin 2)=.
【解析】f(sin 2)+f(-sin 2)=1-sin 2+1+sin 2=(sin -cos )2+(sin +cos )2=|sin -cos |+|sin +cos |.
因為4，)，所以sin -cos 0，sin +cos 0.
所以|sin -cos |+|sin +cos |=sin -cos -sin -cos =-2cos .
題型二 三角函數(shù)式的求值問題
【例2】已知向量a=(sin ，cos -2sin )，b=(1,2).
(1)若a∥b，求tan 的值;
(2)若|a|=|b|，0，求 的值.
【解析】(1)因為a∥b，所以2sin =cos -2sin ，
于是4sin =cos ，故tan =14.
(2)由|a|=|b|知，sin2+(cos -2sin )2=5，
所以1-2sin 2+4sin2=5.
從而-2sin 2+2(1-cos 2)=4，即sin 2+cos 2=-1，
于是sin(24)=-22.
又由0知，244，
所以24=54或24=74.
因此2或=34.
【變式訓(xùn)練2】已知tan =12，則2sin cos +cos2等于()
A.45 B.85 C.65 D.2
【解析】原式=2sin cos +cos2sin2+cos2=2tan +11+tan2=85.故選B.
題型三 三角函數(shù)式的簡單應(yīng)用問題
【例3】已知-2
(1)sin x-cos x的值;
(2)sin3(2-x)+cos3(2+x)的值.
【解析】(1)由已知得2sin xcos x=-2425，且sin x0
所以sin x-cos x=-(sin x-cos x)2=-1-2sin xcos x=-1+2425=-75.
(2)sin3(2-x)+cos3(2+x)=cos3x-sin3x=(cos x-sin x)(cos2x+cos xsin x+sin2x)
=75(1-1225)=91125.
【點撥】求形如sin xcos x的值，一般先平方后利用基本關(guān)系式，再求sin xcos x取值符號.
【變式訓(xùn)練3】化簡1-cos4-sin41-cos6-sin6.
【解析】原式=1-[(cos2+sin2)2-2sin2cos2]1-[(cos2+sin2)(cos4+sin4-sin2cos2)]
=2sin2cos21-[(cos2+sin2)2-3sin2cos2]=23.
總結(jié)提高
1.對于同角三角函數(shù)基本關(guān)系式中同角的含義，只要是同一個角，那么基本關(guān)系式就成立，如：sin2(-2)+cos2(-2)=1是恒成立的.
2.誘導(dǎo)公式的重要作用在于：它揭示了終邊在不同象限且具有一定對稱關(guān)系的角的三角函數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系，從而可化負(fù)為正，化復(fù)雜為簡單.
5.3 兩角和與差、二倍角的三角函數(shù)
典例精析
題型一 三角函數(shù)式的化簡
【例1】化簡 (0).
【解析】因為0，所以022，
所以原式=
= =-cos .
【點撥】先從角度統(tǒng)一入手，將化成2，然后再觀察結(jié)構(gòu)特征，如此題中sin22-cos22=-cos .
【變式訓(xùn)練1】化簡2cos4x-2cos2x+122tan(4-x)sin2(4+x).
【解析】原式=12(2cos2x-1)22tan(4-x)cos2(4-x)=cos22x4cos(4-x)sin(4-x)=cos22x2sin(2-2x)=12cos 2x.
題型二 三角函數(shù)式的求值
【例2】已知sin x2-2cos x2=0.
(1)求tan x的值;
(2)求cos 2x2cos(4+x)sin x的值.
【解析】(1)由sin x2-2cos x2=0tan x2=2，所以tan x= =221-22=-43.
(2)原式=cos2x-sin2x2(22cos x-22sin x)sin x
=(cos x-sin x)(cos x+sin x)(cos x-sin x)sin x=cos x+sin xsin x=1tan x+1=(-34)+1=14.
【變式訓(xùn)練2】2cos 5-sin 25sin 65= .
【解析】原式=2cos(30-25)-sin 25cos 25=3cos 25cos 25=3.
題型三 已知三角函數(shù)值求解
【例3】已知tan(-)=12，tan =-17，且，(0，)，求2-的值.
【解析】因為tan 2(-)=2tan(-)1-tan2(-)=43，
所以tan(2-)=tan[2(-)+]=tan2(-)+tan 1-tan 2(-)tan =1，
又tan =tan[(-)+]=tan(-)+tan 1-tan(-)tan =13，
因為(0，)，所以04，
又，所以-2-0，所以2-=-34.
【點撥】由三角函數(shù)值求角時，要注意角度范圍，有時要根據(jù)三角函數(shù)值的符號和大小將角的范圍適當(dāng)縮小.
【變式訓(xùn)練3】若與是兩銳角，且sin(+)=2sin ，則與的大小關(guān)系是()
A.= B.
C. D.以上都有可能
【解析】方法一：因為2sin =sin(+1，所以sin 12，又是銳角，所以30.
又當(dāng)=30，=60時符合題意，故選B.
方法二：因為2sin =sin(+)=sin cos +cos sin
所以sin
又因為、是銳角，所以，故選B.
總結(jié)提高
1.兩角和與差的三角函數(shù)公式以及倍角公式等是三角函數(shù)恒等變形的主要工具.
(1)它能夠解答三類基本題型：求值題，化簡題，證明題;
(2)對公式會正用、逆用、變形使用
(3)掌握角的演變規(guī)律，如2=(+)+(-)等.
2.通過運用公式，實現(xiàn)對函數(shù)式中角的形式、升冪、降冪、和與差、函數(shù)名稱的轉(zhuǎn)化，以達(dá)到求解的目的，在運用公式時，注意公式成立的條件.
5.4 三角恒等變換
典例精析
題型一 三角函數(shù)的求值
【例1】已知04，04，3sin =sin(2+)，4tan 2=1-tan22，求+的值.
【解析】由4tan 2=1-tan22，得tan = =12.
由3sin =sin(2+)得3sin[(+)-]=sin[(+)+]，
所以3sin(+)cos -3cos(+)sin =sin(+)cos +cos(+)sin ，
即2sin(+)cos =4cos(+)sin ，所以tan(+)=2 tan =1.
又因為、(0，4)，所以+4.
【點撥】三角函數(shù)式的化簡與求值的主要過程是三角變換，要善于抓住已知條件與目標(biāo)之間的結(jié)構(gòu)聯(lián)系，找到解題的突破口與方向.
【變式訓(xùn)練1】如果tan(+)=35，tan(4)=14，那么tan(4)等于()
A.1318 B.1322 C.723 D.318
【解析】因為4=(+)-(4)，
所以tan(4)=tan[(+)-(4)]=tan(+)-tan(4)1+tan(+)tan(4)=723.
故選C.
題型二 等式的證明
【例2】求證：sin sin =sin(2+)sin -2co s(+).
【證明】證法一：
右邊=sin [(+)+]-2cos(+)sin sin =sin(+)cos -cos(+)sin sin
=sin [(+)-]sin =sin sin =左邊.
證法二：sin(2+)sin -sin sin =sin(2+)-sin sin =2cos(+)sin sin =2cos(+)，
所以sin(2+)sin -2cos(+)=sin sin .
【點撥】證法一將2+寫成(+)+，使右端的角形式上一致，易于共同運算;證法二把握結(jié)構(gòu)特征，用變更問題法證明，簡捷而新穎.
【變式訓(xùn)練2】已知5sin =3sin(-2)，求證：tan(-)+4tan =0.
【證明】因為5sin =3sin(-2)，所以5sin[(-)+]=3sin[(-)-]，
所以5sin(-)cos +5cos(-)sin =3sin(-)cos -3cos(-)sin ，
所以2sin(-)cos +8cos(-)sin =0.
即tan(-)+4tan =0.
題型三 三角恒等變換的應(yīng)用
【例3】已知△ABC是非直角三角形.
(1)求證：tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C;
(2)若AB且tan A=-2tan B，求證：tan C=sin 2B3-cos 2B;
(3)在(2)的條件下，求tan C的最大值.
【解析】(1)因為C=-(A+B)，
所以tan C=-tan(A+B)=-(tan A+tan B)1-tan Atan B，
所以tan C-tan Atan Btan C=-tan A-tan B，
即tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.
(2)由(1)知tan C=-(tan A+tan B)1-tan Atan B=tan B1+2tan2B=sin Bcos Bcos2B+2sin2B=
=sin 2B2(2-1+cos 2B2)=sin 2B3-cos 2B.
(3)由(2)知tan C=tan B1+2tan2B=12tan B+1tan B122=24，
當(dāng)且僅當(dāng)2tan B=1tan B，即tan B=22時，等號成立.
所以tan C的最大值為24.
【點撥】熟練掌握三角變換公式并靈活地運用來解決與三角形有關(guān)的問題，要有較明確的目標(biāo)意識.
【變式訓(xùn)練3】在△ABC中，tan B+tan C+3tan Btan C=3，3tan A+3tan B+1=tan Atan B，試判斷△ABC的形狀.
【解析】由已知得tan B+tan C=3(1-tan Btan C)，
3(tan A+tan B)=-(1-tan Atan B)，
即tan B+tan C1-tan Btan C=3，tan A+tan B1-tan Atan B=-33.
所以tan(B+C)=3，tan(A+B)=-33.
因為0
又A+B+C=，故A=23，B=C=6.
所以△ABC是頂角為23的等腰三角形.
總結(jié)提高
三角恒等式的證明，一般考慮三個統(tǒng)一：①統(tǒng)一角度，即化為同一個角的三角函數(shù);②統(tǒng)一名稱，即化為同一種三角函數(shù);③統(tǒng)一結(jié)構(gòu)形式.
5.5 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)
典例精析
題型一 三角函數(shù)的周期性與奇偶性
【例1】已知函數(shù)f(x)=2sin x4cos x4+3cos x2.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)令g(x)=f(x+3)，判斷g(x)的奇偶性.
【解析】(1)f(x)=2sin x4cos x4+3cos x2=sin x2+3cos x2=2sin(x2+3)，
所以f(x)的最小正周期T=2.
(2)g(x)=f(x+3)=2sin[12(x+3]=2sin(x2+2)=2cos x2.
所以g(x)為偶函數(shù).
【點撥】解決三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)問題，常常要化簡三角函數(shù).
【變式訓(xùn)練1】函數(shù)y=sin2x+sin xcos x的最小正周期T等于()
A.2 C.3
【解析】y=1-cos 2x2+12sin 2x=22(22sin 2x-22cos 2x)+12
=22sin(2x-4)+12，所以T=2.故選B.
題型二 求函數(shù)的值域
【例2】求下列函數(shù)的值域：
(1)f(x)=sin 2xsin x1-cos x;
(2)f(x)=2cos(3+x)+2cos x.
【解析】(1)f(x)=2sin xcos xsin x1-cos x=2cos x(1-cos2x)1-cos x=2cos2x+2cos x
=2(cos x+12)2-12，
當(dāng)cos x=1時，f(x)max=4，但cos x1，所以f(x)4，
當(dāng)cos x=-12時，f(x)min=-12，所以函數(shù)的值域為[-12，4).
(2)f(x)=2(cos 3cos x-sin 3sin x)+2cos x
=3cos x-3sin x=23cos(x+6)，
所以函數(shù)的值域為[-23，23].
【點撥】求函數(shù)的值域是一個難點，分析函數(shù)式的特點，具體問題具體分析，是突破這一難點的關(guān)鍵.
【變式訓(xùn)練2】求y=sin x+cos x+sin xcos x的值域.
【解析】令t=sin x+cos x，則有t2=1+2sin xcos x，即sin xcos x=t2-12.
所以y=f(t)=t+t2-12=12(t+1)2-1.
又t=sin x+cos x=2sin(x+4)，所以-22.
故y=f(t)=12(t+1)2-1(-22)，
從而f(-1)f(2)，即-12+12.
所以函數(shù)的值域為[-1，2+12].
題型三 三角函數(shù)的單調(diào) 性
【例3】已知函數(shù)f(x)=sin(x+0，|)的部分圖象如圖所示.
(1)求，
(2)設(shè)g(x)=f(x)f(x-4)，求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
【解析】(1)由圖可知，T=4(4)=，=2T=2.
又由f(2)=1知，sin()=1，又f(0)=-1，所以sin =-1.
因為|，所以2.
(2)f(x)=sin(2x-2)=-cos 2x.
所以g(x)=(-cos 2x)[-cos(2x-2)]=cos 2xsin 2x=12sin 4x.
所以當(dāng)2k22k2，即k8k8(kZ)時g(x)單調(diào)遞增.
故函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間為[k8，k8](kZ).
【點撥】觀察圖象，獲得T的值，然后再確定的值，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想與方法.
【變式訓(xùn)練3】使函數(shù)y=sin(6-2x)(x[0，])為增函數(shù)的區(qū)間是()
A.[0，3] B.[12，712]
C.[3，56] D.[5]
【解析】利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減的原則判定，選C.
總結(jié)提高
1.求三角函數(shù)的定義域和值域應(yīng)注意利用三角函數(shù)圖象.
2.三角函數(shù)的最值都是在給定區(qū)間上得到的，因而特別要注意題設(shè)中所給的區(qū)間.
3.求三角函數(shù)的最小正周期時，要盡可能地化為三角函數(shù)的一般形式，要注意絕對值、定義域?qū)χ芷诘挠绊?
4.判斷三角函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先判定函數(shù)定義域的對稱性.
5.6 函數(shù)y=Asin(x+ )的圖象和性質(zhì)
典例精析
題型一 五點法作函數(shù)圖象
【例1】設(shè)函數(shù)f(x)=sin x+3cos x(0)的周期為.
(1)求它的振幅、初相;
(2)用五點法作出它在長度為一個周期的閉區(qū)間上的圖象;
(3)說明函數(shù)f(x)的圖象可由y=sin x的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到.
【解析】(1)f(x)=sin x+3cos x=2(12sin x+32cos x)=2sin(x+3)，
又因為T=，所以2=，即=2，所以f(x)=2sin(2x+3)，
所以函數(shù)f(x)=sin x+3cos x(0)的振幅為2，初相為3.
(2)列出下表，并描點畫出圖象如圖所示.
(3)把y=sin x圖象上的所有點向左平移3個單位，得到y(tǒng)=sin(x+3)的圖象，再把
y=sin(x+3)的圖象上的所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的12(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)=sin(2x+3)的圖象，然后把y=sin(2x+3)的圖象上的所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)，即可得到y(tǒng)=2sin(2x+3)的圖象.
【點撥】用五點法作圖，先將原函數(shù)化為y=Asin(x+0，0)形式，再令x+=0，，32，2求出相應(yīng)的x值及相應(yīng)的y值，就可以得到函數(shù)圖象上一個周期內(nèi)的五個點，用平滑的曲線連接五個點，再向兩端延伸即可得到函數(shù)在整個定義域上的圖象.
【變式訓(xùn)練1】函數(shù)
的圖象如圖所示，則()
A.k=12，=12，6
B.k=12，=12，3
C.k=12，=2，6
D.k=-2，=12，3
【解析】本題的函數(shù)是一個分段函數(shù)，其中一個是一次函數(shù)，其圖象是一條直線，由圖象可判斷該直線的斜率k=12.另一個函數(shù)是三角函數(shù)，三角函數(shù)解析式中的參數(shù)由三角函數(shù)的周期決定，由圖象可知函數(shù)的周期為T=4(83)=4，故=12.將點(53，0)代入解析式y(tǒng)=2sin(12x+)，得123+，kZ，所以-56，kZ.結(jié)合各選項可知，選項A正確.
題型二 三角函數(shù)的單調(diào)性與值域
【例2】已知函數(shù)f(x)=sin2x+3sin xsin(x+2)+2cos2x，xR(0)在y軸右側(cè)的第一個最高點的橫坐標(biāo)為6.
(1)求的值;
(2)若將函數(shù)f(x)的圖象向右平移6個單位后，再將得到的圖象上各點橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的最大值及單調(diào)遞減區(qū)間.
【解析】(1)f(x)=32sin 2x+12cos 2x+32=sin(2x+6)+32.
令2x+2，將x=6代入可得=1.
(2)由(1)得f(x)=sin(2x+6)+32，經(jīng)過題設(shè)的變化得到函數(shù)g(x)=sin(12x-6)+32，
當(dāng)x=4k，kZ時，函數(shù)g(x)取得最大值52.
令2k26+32，
即[4k3，4k](kZ)為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.
【點撥】本題考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用、三角函數(shù)圖象性質(zhì)及變換.
【變式訓(xùn)練2】若將函數(shù)y=2sin(3x+)的圖象向右平移4個單位后得到的圖象關(guān)于點(3，0)對稱，則||的最小值是()
A.3 C.2 D.34
【解析】將函數(shù)y=2sin(3x+)的圖象向右平移4個單位后得到y(tǒng)=2sin[3(x-]=2sin(3x-3)的圖象.
因為該函數(shù)的圖象關(guān)于點(3，0)對稱，所以2sin(33-3)=2sin()=0，
故有=kZ)，解得-4(kZ).
當(dāng)k=0時，||取得最小值4，故選A.
題型三 三角函數(shù)的綜合應(yīng)用
【例3】已知函數(shù)y=f(x)=Asin2(x+0，0,02)的最大值為2，其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為2，并過點(1,2).
(1)求
(2)求f(1)+f(2)++f(2 008).
【解析】(1)y=Asin2(x+)=A2-A2cos(2x+2)，
因為y=f(x)的最大值為2，又A0，
所以A2+A2=2，所以A=2，
又因為其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為2，0，
所以122=2，所以4.
所以f(x)=22-22cos(2x+2)=1-cos(2x+2)，
因為y=f(x)過點(1,2)，所以cos()=-1.
所以=2k(kZ)，
解得+4(kZ)，
又因為02，所以4.
(2)方法一：因為4，
所以y=1-cos(2)=1+sin 2x，
所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4，
又因為y=f(x)的周期為4,2 008=4502.
所以f(1)+f(2)++f(2 008)=4502=2 008.
方法二：因為f(x)=2sin2()，
所以f(1)+f(3)=2sin2()+2sin2(3)=2，
f(2)+f(4)=2sin2()+2sin2()=2，
所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4，
又因為y=f(x)的周期為4,2 008=4502.
所以f(1)+f(2)++f(2 008)=4502=2 008.
【點撥】函數(shù)y=Acos(x+)的對稱軸由x+，可得x=k，兩相鄰對稱軸間的距離為周期的一半，解決該類問題可畫出相應(yīng)的三角函數(shù)的圖象，借助數(shù)形結(jié)合的思想解決.
【變式訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(x)=Acos2 x+2(A0，0)的最大值為6，其相鄰兩條對稱軸間的距離為4，則f(2)+f(4)+f(6)++f(20)=.
【解析】f(x)=Acos2x+2=A1+cos 2x2+2=Acos 2x2+A2+2，則由題意知A+2=6，2=8，所以A=4，8，所以f(x)=2cos 4x+4，所以f(2)=4，f(4)=2，f(6)=4，f(8)=6，f(10)=4，觀察周期性規(guī)律可知f(2)+f(4)++f(20)=2(4+2+4+6)+4+2=38.
總結(jié)提高
1.用五點法作y=Asin(x+)的圖象，關(guān)鍵是五個點的選取，一般令x+=0，，32，2，即可得到作圖所需的五個點的坐標(biāo)，同時，若要求畫出給定區(qū)間上的函數(shù)圖象時，應(yīng)適當(dāng)調(diào)整x+的取值，以便列表時能使x在給定的區(qū)間內(nèi)取值.
2.在圖象變換時，要注意相位變換與周期變換的先后順序改變后，圖象平移的長度單位是不同的，這是因為變換總是對字母x本身而言的，無論沿x軸平移還是伸縮，變化的總是x.
3.在解決y=Asin(x+)的有關(guān)性質(zhì)時，應(yīng)將x+視為一個整體x后再與基本函數(shù)
y=sin x的性質(zhì)對應(yīng)求解.
5.7 正弦定理和余弦定理
典例精析
題型一 利用正、余弦定理解三角形
【例1】在△ABC中，AB=2，BC=1，cos C=34.
(1)求sin A的值;(2)求 的值.
【解析】(1)由cos C=34得sin C=74.
所以sin A=BC sin CAB=1742=148.
(2)由(1)知，cos A=528.
所以cos B=-cos(A+C)=-cos Acos C+sin Asin C
=-15232+7232=-24.
所以 = ( + )= +
=-1+12cos B=-1-12=-32.
【點撥】在解三角形時，要注意靈活應(yīng)用三角函數(shù)公式及正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識.
【變式訓(xùn)練1】在△ABC中，已知a、b、c為它的三邊，且三角形的面積為a2+b2-c24，則C= .
【解析】S=a2+b2-c24=12absin C.
所以sin C=a2+b2-c22ab=cos C.所以tan C=1，
又(0，)，所以4.
題型二 利用正、余弦定理解三角形中的三角函數(shù)問題
【例2】設(shè)△ABC是銳角三角形，a、b、c分別是內(nèi)角A、B、C所對的邊長，并且sin2A=sin(3+B)sin(3-B)+sin2B.
(1)求角A的值;
(2)若 =12，a=27，求b，c(其中b
【解析】(1)因為sin2A=(32cos B+12sin B)(32cos B-12sin B)+sin2B=34cos2 B-14sin2B+sin2B=34，所以sin A=32.又A為銳角，所以A=3.
(2)由 =12可得cbcos A=12.①
由( 1)知A=3，所以cb=24.②
由余弦定理知a2=c2+b2-2cbcos A，將a=27及①代入得c2+b2=52.③
③+②2，得(c+b)2=100，所以c+b=10.
因此，c，b是一元二次方程t2-10t+24=0的兩個根.
又b
【點撥】本小題考查兩角和與差的正弦公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，特殊角的三角函數(shù)值，向量的數(shù)量積，利用余弦定理解三角形等有關(guān)知識，考查綜合運算求解能力.
【變式訓(xùn)練2】在△ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對邊，且滿足(2a-c)cos B=
bcos C.
(1)求角B的大小;
(2)若b=7，a+c=4，求△ABC的面積.
【解析】(1)在△ABC中，由正弦定理得
a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C，
代入(2a-c)cos B=bcos C，
整理得2sin Acos B=sin Bcos C+sin C cos B，
即2sin Acos B=sin(B+C)=sin A，
在△ABC中，sin A0,2cos B=1，
因為B是三角形的內(nèi)角，所以B=60.
(2)在△ABC中，由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B
=(a+c)2-2ac-2ac cos B，
將b=7，a+c=4代入整理，得ac=3.
故S△ABC=12acsin B=32sin 60=334.
題型三 正、余弦定理在實際問題中的應(yīng)用
【例3】(2010陜西)如圖所示，A，B是海面上位于東西方向相距5(3+3)海里的兩個觀測點.現(xiàn)位于A點北偏東45，B點北偏西60的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60且與B點相距203海里的C點的救 援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時，則該救援船到達(dá)D點需要多長時間?
【解析】由題意知AB=5(3+3)(海里)，DBA=90-60=30，DAB=90-45=45，所以ADB=180-(45+30)=105.
在△DAB中，由正弦定理得DBsinDAB=ABsinADB，
所以DB= =
= =53(3+1)3+12=103(海里).
又DBC=DBA+ABC=30+(90-60)=60，BC=203海里，
在△DBC中，由余弦定理得
CD2=BD2+BC2-2BD BC cosDBC=300+1 200-210320312=900，
所以CD=30(海里)，則需要的時間t=3030=1(小時).
所以，救援船到達(dá)D點需要1小時.
【點撥】應(yīng)用解三角形知識解決實際問題的基本步驟是：
(1)根據(jù)題意，抽象地構(gòu)造出三角形;
(2)確定實際問題所涉及的數(shù)據(jù)以及要求解的結(jié)論與所構(gòu)造的三角形的邊與角的對應(yīng)關(guān)系;
(3)選用正弦定理或余弦定理或者二者相結(jié)合求解;
(4)給出結(jié)論.
【變式訓(xùn)練3】如圖，一船在海上由西向東航行，在A處測得某島M的方位角為北偏東角，前進(jìn)m km后在B處測得該島的方位角為北偏東角，已知該島周圍n km范圍內(nèi)(包括邊界)有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行，當(dāng)與滿足條件 時，該船沒有觸礁危險.
【解析】由題可知，在△ABM中，根據(jù)正弦定理得BMsin(90-)=msin(-)，解得BM=mcos sin(-)，要使船 沒有觸礁危險需要BMsin(90)=mcos cos sin(-n.所以與的關(guān)系滿足mcos cos nsin(-)時，船沒有觸礁危險.
總結(jié)提高
1.正弦定理、余弦定理體現(xiàn)了三角形中角與邊存在的一種內(nèi)在聯(lián)系，如證明兩內(nèi)角AB與sin Asin B是一種等價關(guān)系.
2.在判斷三角形的形狀時，一般將已知條件中的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系或統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，再用恒等變形(如因式分解、配方)求解，注意等式兩邊的公因式不要隨意約掉，否則會漏解.
3.用正弦定理求角的大小一定要根據(jù)題中所給的條件判斷角的范圍，以免增解或漏解.
5.8 三角函數(shù)的綜合應(yīng)用
典例精析
題型一 利用三角函數(shù)的性質(zhì)解應(yīng)用題
【例1】如圖，ABCD是一塊邊長為100 m的正方形地皮，其中AST是一半徑為90 m的扇形小山，其余部分都是平地.一開發(fā)商想在平地上建一個矩形 停車場，使矩形的一個頂點P在 上，相鄰兩邊CQ、CR分別落在正方形的邊BC、CD上，求矩形停車場PQCR面積的最大值和最小值.
【解析】如圖，連接AP，過P作PMAB于M.
設(shè)PAM=，02，
則PM=90sin ，AM=90cos ，
所以PQ=100-90cos ，PR=100-90sin ，
于是S四邊形PQCR=PQPR
=(100-90cos )(100-90sin )
=8 100sin cos -9 000(sin +cos )+10 000.
設(shè)t=sin +cos ，則12，sin cos =t2-12.
S四邊形PQCR=8 100t2-12-9 000t+10 000
=4 050(t-109)2+950 (12).
當(dāng)t=2時，(S四邊形PQCR)max=14 050-9 0002 m2;
當(dāng)t=109時，(S四邊形PQCR)min=950 m2.
【點撥】同時含有sin cos ，sin cos 的函數(shù)求最值時，可設(shè)sin cos =t，把sin cos 用t表示，從而把問題轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次函數(shù)的最值問題.注意t的取值范圍.
【變式訓(xùn)練1】若0
A.4xsin 3x B.4x
C.4xsin 3x D.與x的值有關(guān)
【解析】令f(x)=4x-sin 3x，則f(x)=4-3cos 3x.因為f(x)=4-3cos 3x0，所以f(x)為增函數(shù).又0f(0)=0，即得4x-sin 3x0.所以4xsin 3x.故選A.
題型二 函數(shù)y=Asin(x+)模型的應(yīng)用
【例2】已知某海濱浴場的海浪高度y(米)是時間t(024，單位：小時)的函數(shù)，記作y=f(t).下表是某日各時的浪花高度數(shù)據(jù).
經(jīng)長期觀測，y=f(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)y=Acos t+b.
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)y=Acos t+b的最小正周期T、振幅A及函數(shù)表達(dá)式;
(2)依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放. 請依據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的上午8：00至晚上20：00之間，有多少時間可供沖浪者進(jìn)行運動?
【解析】(1)由表中數(shù)據(jù)知，周期T=12，所以=212=6.
由t=0，y=1.5，得A+b=1.5，由t=3，y=1.0，得b=1.0，
所以A=0.5，b=1，所以振幅為12.所以y=12cos 6t+1.
(2)由題知，當(dāng)y1時才可對沖浪者開放，
所以12cos 1，所以cos 0，
所以2k26t+2，即12k-3
因為024，故可令①中k分別為0,1,2，得03或9
故在規(guī)定時間上午8：00至晚上20：00之間，有6個小時時間可供沖浪者運動，即上午9：00至下午15：00.
【點撥】用y=Asin(x+)模型解實際問題，關(guān)鍵在于根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)準(zhǔn)確求出函數(shù)解析式.
【變 式訓(xùn)練2】如圖，一個半徑為10 m的水輪按逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn)4圈，記水輪上的點P到水面的距離為d m(P在水面下則d為負(fù)數(shù))，則d(m)與時間t(s)之間滿足關(guān)系式：d=Asin(t+)+k(A0，0，-2)，且當(dāng)點P從水面上浮現(xiàn)時開始計算時間，有以下四個結(jié)論：①A=10;②=2③④k=5.其中正確結(jié)論的序號是 .
【解析】①②④.
題型三 正、余弦定理的應(yīng)用
【例3】為了測量兩山頂M、N間的距離，飛機沿水平方向在A、B兩點進(jìn)行測量，A、B、M、N在同一個鉛垂平面內(nèi)(如圖所示)，飛機 能測量的數(shù)據(jù)有俯角和A、B之間的距離，請設(shè)計一個方案，包括：(1)指出需測量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標(biāo)示);(2)用文字和公式寫出計算M、N間距離的步驟.
【解析】(1)如圖所示：①測AB間的距離a;②測俯角MAB=，NAB=，MBA=，NBA=.(2)在△ABM中 ，AMB=-，由正弦定理得
BM=ABsin sinAMB=asin sin()，
同理在△BAN中，BN=ABsin sinANB=asin sin(+)，
所以在△BMN中，由余弦定理得
MN=
=a2sin2sin2()+a2sin2sin2(+)-2a2sin sin cos(-)sin()sin(+).
【變式訓(xùn)練3】一船向正北方向勻速行駛，看見正西方向兩座相距10海里的燈塔恰好與該船在同一直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見其中一座燈塔在南偏西60方向上，另一燈塔在南偏西75方向上，則該船的速度是 海里/小時.
【解析】本題考查實際模型中的解三角形問題.依題意作出簡圖，易知AB=10，OCB=60，OCA=75.我們只需計算出OC的長，即可得出船速.在直角三角形OCA和OCB中，顯然有OBOC=tanOCB=tan 60且OAOC=tanOCA=tan 75，
因此易得AB=OA-OB=OC(tan 75-tan 60)，即有
OC=ABtan 75-tan 60=10tan 75-tan 60
=10tan(30+45)-tan 60
=10tan 30+tan 451-tan 30tan 45-tan 60=1013+11-13-3=5.
由此可得船的速度為5海里0.5小時=10海里/小時.
總結(jié)提高
1.解三角形的應(yīng)用題時應(yīng)注意：
(1)生活中的常用名詞，如仰角，俯角，方位角，坡比等;
(2)將所有已知條件化入同一個三角形中求解;
(3)方程思想在解題中的運用.
2.解三角函數(shù)的綜合題時應(yīng)注意：
(1)與已知基本函數(shù)對應(yīng)求解，即將x+視為一個整體X;
(2)將已知三角函數(shù)化為同一個角的一種三角函數(shù)，如y=Asin(x+)+B或y=asin2x+bsin x+c;
(3)換元方法在解題中的運用.
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