高三數(shù)學復習教案：空間向量及其應用
高三數(shù)學復習教案：空間向量及其應用
高三數(shù)學復習教案：空間向量及其應用
一.課標要求：
(1)空間向量及其運算
① 經(jīng)歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程;
�、� 了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示;
�、� 掌握空間向量的線性運算及其坐標表示;
�、� 掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直。
(2)空間向量的應用
�、� 理解直線的方向向量與平面的法向量;
�、� 能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系;
�、� 能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理);
�、� 能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用。
二.命題走向
本講內(nèi)容主要涉及空間向量的坐標及運算、空間向量的應用。本講是立體幾何的核心內(nèi)容，高考對本講的考察形式為：以客觀題形式考察空間向量的概念和運算，結(jié)合主觀題借助空間向量求夾角和距離。
預測2013年高考對本講內(nèi)容的考查將側(cè)重于向量的應用，尤其是求夾角、求距離，教材上淡化了利用空間關(guān)系找角、找距離這方面的講解，加大了向量的應用，因此作為立體幾何解答題，用向量法處理角和距離將是主要方法，在復習時應加大這方面的訓練力度。
三.要點精講
1.空間向量的概念
向量：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。
相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
表示方法：用有向線段表示，并且同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量。
說明：①由相等向量的概念可知，一個向量在空間平移到任何位置，仍與原來的向量相等，用同向且等長的有向線段表示;②平面向量僅限于研究同一平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的平移。
2.向量運算和運算率
加法交換率：
加法結(jié)合率：
數(shù)乘分配率：
說明：①引導學生利用右圖驗證加法交換率，然后推廣到首尾相接的若干向量之和;②向量加法的平行四邊形法則在空間仍成立。
3.平行向量(共線向量)：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量。 平行于 記作 ∥ 。
注意：當我們說 、 共線時，對應的有向線段所在直線可能是同一直線，也可能是平行直線;當我們說 、 平行時，也具有同樣的意義。
共線向量定理：對空間任意兩個向量 ( )、 ， ∥ 的充要條件是存在實數(shù) 使 =
注：⑴上述定理包含兩個方面：①性質(zhì)定理：若 ∥ ( 0)，則有 = ，其中 是唯一確定的實數(shù)。②判斷定理：若存在唯一實數(shù) ，使 = ( 0)，則有 ∥ (若用此結(jié)論判斷 、 所在直線平行，還需 (或 )上有一點不在 (或 )上)。
�、茖τ诖_定的 和 ， = 表示空間與 平行或共線，長度為 | |，當 0時與 同向，當 0時與 反向的所有向量。
⑶若直線l∥ ， ，P為l上任一點，O為空間任一點，下面根據(jù)上述定理來推導 的表達式。
推論：如果 l為經(jīng)過已知點A且平行于已知非零向量 的直線，那么對任一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，滿足等式
�、�
其中向量 叫做直線l的方向向量。
在l上取 ，則①式可化為 ②
當 時，點P是線段AB的中點，則 ③
①或②叫做空間直線的向量參數(shù)表示式，③是線段AB的中點公式。
注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基礎(chǔ)，也是常用的直線參數(shù)方程的表示形式;⑵推論的用途：解決三點共線問題。⑶結(jié)合三角形法則記憶方程。
4.向量與平面平行：如果表示向量 的有向線段所在直線與平面 平行或 在 平面內(nèi)，我們就說向量 平行于平面 ，記作 ∥ 。注意：向量 ∥ 與直線a∥ 的聯(lián)系與區(qū)別。
共面向量：我們把平行于同一平面的向量叫做共面向量。
共面向量定理 如果兩個向量 、 不共線，則向量 與向量 、 共面的充要條件是存在實數(shù)對x、y，使 ①
注：與共線向量定理一樣，此定理包含性質(zhì)和判定兩個方面。
推論：空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x、y，使
�、�
或?qū)臻g任一定點O，有 ⑤
在平面MAB內(nèi)，點P對應的實數(shù)對(x, y)是唯一的。①式叫做平面MAB的向量表示式。
又∵ 代入⑤，整理得
�、�
由于對于空間任意一點P，只要滿足等式④、⑤、⑥之一(它們只是形式不同的同一等式)，點P就在平面MAB內(nèi);對于平面MAB內(nèi)的任意一點P，都滿足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共線的兩個向量 、 (或不共線三點M、A、B)確定的空間平面的向量參數(shù)方程，也是M、A、B、P四點共面的充要條件。
5.空間向量基本定理：如果三個向量 、 、 不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x, y, z, 使
說明：⑴由上述定理知，如果三個向量 、 、 不共面，那么所有空間向量所組成的集合就是 ，這個集合可看作由向量 、 、 生成的，所以我們把{ ， ， }叫做空間的一個基底， ， ， 都叫做基向量;⑵空間任意三個不共面向量都可以作為空間向量的一個基底;⑶一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同的概念;⑷由于 可視為與任意非零向量共線。與任意兩個非零向量共面，所以，三個向量不共面就隱含著它們都不是 。
推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 ，使
6.數(shù)量積
(1)夾角：已知兩個非零向量 、 ，在空間任取一點O，作 ， ，則角AOB叫做向量 與 的夾角，記作
說明：⑴規(guī)定0 ,因而 = ;
�、迫绻� = ，則稱 與 互相垂直，記作
⑶在表示兩個向量的夾角時，要使有向線段的起點重合，注意圖(3)、(4)中的兩個向量的夾角不同，
圖(3)中AOB= ，
圖(4)中AOB= ,
從而有 = = .
(2)向量的模：表示向量的有向線段的長度叫做向量的長度或模。
(3)向量的數(shù)量積： 叫做向量 、 的數(shù)量積，記作 。
即 = ，
向量 :
(4)性質(zhì)與運算率
�、� 。 ⑴
�、� =0 ⑵ =
�、� ⑶
四.典例解析
題型1：空間向量的概念及性質(zhì)
例1.有以下命題：①如果向量 與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么 的關(guān)系是不共線;② 為空間四點，且向量 不構(gòu)成空間的一個基底，那么點 一定共面;③已知向量 是空間的一個基底，則向量 ，也是空間的一個基底。其中正確的命題是( )
�、佗� ①③ ②③ ①②③
解析：對于①如果向量 與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么 的關(guān)系一定共線所以①錯誤。②③正確。
例2.下列命題正確的是( )
若 與 共線， 與 共線，則 與 共線;
向量 共面就是它們所在的直線共面;
零向量沒有確定的方向;
若 ，則存在唯一的實數(shù) 使得 ;
解析：A中向量 為零向量時要注意，B中向量的共線、共面與直線的共線、共面不一樣，D中需保證 不為零向量。
題型2：空間向量的基本運算
例3.如圖：在平行六面體 中， 為 與 的交點。若 ， ， ，則下列向量中與 相等的向量是( )
例4.已知： 且 不共面.若 ∥ ,求 的值.
題型3：空間向量的坐標
例5.(1)已知兩個非零向量 =(a1，a2，a3)， =(b1，b2，b3)，它們平行的充要條件是()
A. ：| |= ：| |B.a1b1=a2b2=a3b3
C.a1b1+a2b2+a3b3=0D.存在非零實數(shù)k，使 =k
(2)已知向量 =(2，4，x)， =(2，y，2)，若| |=6， ，則x+y的值是()
A. -3或1 B.3或-1 C. -3 D.1
(3)下列各組向量共面的是()
A. =(1，2，3)， =(3，0，2)， =(4，2，5)
B. =(1，0，0)， =(0，1，0)， =(0，0，1)
C. =(1，1，0)， =(1，0，1)， =(0，1，1)
D. =(1，1，1)， =(1，1，0)， =(1，0，1)
解析：(1)D;點撥：由共線向量定線易知;
(2)A 點撥：由題知 或 ;
例6.已知空間三點A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3，0，4)。設(shè) = ， = ，(1)求 和 的夾角 ;(2)若向量k + 與k -2 互相垂直，求k的值.
思維入門指導：本題考查向量夾角公式以及垂直條件的應用，套用公式即可得到所要求的結(jié)果.
解：∵A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3，0，4)， = ， = ，
=(1，1，0)， =(-1，0，2).
(1)cos = = - ，
和 的夾角為- 。
(2)∵k + =k(1，1，0)+(-1，0，2)=(k-1，k，2)，
k -2 =(k+2，k，-4)，且(k + )(k -2 )，
(k-1，k，2)(k+2，k，-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=2k2+k-10=0。
則k=- 或k=2。
點撥：第(2)問在解答時也可以按運算律做。( + )(k -2 )=k2 2-k -2 2=2k2+k-10=0，解得k=- ，或k=2。
題型4：數(shù)量積
例7.設(shè) 、 、c是任意的非零平面向量,且相互不共線,則
�、�( ) -( ) = ②| |-| || - | ③( ) -( ) 不與 垂直
�、�(3 +2 )(3 -2 )=9| |2-4| |2中，是真命題的有( )
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
答案：D
解析：①平面向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律.故①假;
②由向量的減法運算可知| |、| |、| - |恰為一個三角形的三條邊長，由兩邊之差小于第三邊，故②真;
③因為[( ) -( ) ] =( ) -( ) =0，所以垂直.故③假;
例8.(1)已知向量 和 的夾角為120，且| |=2，| |=5，則(2 - ) =_____.
(2)設(shè)空間兩個不同的單位向量 =(x1，y1，0)， =(x2，y2，0)與向量 =(1，1，1)的夾角都等于 。(1)求x1+y1和x1y1的值;(2)求 ， 的大小(其中0 ， 。
解析：(1)答案：13;解析：∵(2 - ) =2 2- =2| |2-| || |cos120=24-25(- )=13。
(2)解：(1)∵| |=| |=1，x +y =1，x =y =1.
又∵ 與 的夾角為 ， =| || |cos = = .
又∵ =x1+y1，x1+y1= 。
另外x +y =(x1+y1)2-2x1y1=1，2x1y1=( )2-1= .x1y1= 。
(2)cos ， = =x1x2+y1y2，由(1)知，x1+y1= ，x1y1= .x1，y1是方程x2- x+ =0的解.
或 同理可得 或
∵ ， 或
cos ， + = + = .
∵0 ， ， ， = 。
評述：本題考查向量數(shù)量積的運算法則。
題型5：空間向量的應用
例9.(1)已知a、b、c為正數(shù)，且a+b+c=1，求證： + + 4 。
(2)已知F1=i+2j+3k，F(xiàn)2=-2i+3j-k，F(xiàn)3=3i-4j+5k，若F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3共同作用于同一物體上，使物體從點M1(1，-2，1)移到點M2(3，1，2)，求物體合力做的功。
解析：(1)設(shè) =( ， ， )， =(1，1，1)，
則| |=4，| |= .
∵ | || |，
= + + | || |=4 .
當 = = 時，即a=b=c= 時，取=號。
例10.如圖,直三棱柱 中, 求證:
證明：
五.思維總結(jié)
本講內(nèi)容主要有空間直角坐標系，空間向量的坐標表示，空間向量的坐標運算，平行向量，垂直向量坐標之間的關(guān)系以及中點公式.空間直角坐標系是選取空間任意一點O和一個單位正交基底{i，j，k｝建立坐標系，對于O點的選取要既有作圖的直觀性，而且使各點的坐標，直線的坐標表示簡化，要充分利用空間圖形中已有的直線的關(guān)系和性質(zhì);空間向量的坐標運算同平面向量類似，具有類似的運算法則.一個向量在不同空間的表達方式不一樣，實質(zhì)沒有改變.因而運算的方法和運算規(guī)律結(jié)論沒變。如向量的數(shù)量積ab=|a||b|cos在二維、三維都是這樣定義的，不同點僅是向量在不同空間具有不同表達形式.空間兩向量平行時同平面兩向量平行時表達式不一樣，但實質(zhì)是一致的，即對應坐標成比例，且比值為 ，對于中點公式要熟記。
對本講內(nèi)容的考查主要分以下三類：
1.以選擇、填空題型考查本章的基本概念和性質(zhì)
此類題一般難度不大，用以解決有關(guān)長度、夾角、垂直、判斷多邊形形狀等問題。
2.向量在空間中的應用
在空間坐標系下，通過向量的坐標的表示，運用計算的方法研究三維空間幾何圖形的性質(zhì)。
在復習過程中，抓住源于課本，高于課本的指導方針。本講考題大多數(shù)是課本的變式題，即源于課本。因此，掌握雙基、精通課本是本章關(guān)鍵。
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