勾股定理應(yīng)用題和答案

　　導(dǎo)語：勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理，指直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。中國(guó)古代稱直角三角形為勾股形，并且直角邊中較小者為勾，另一長(zhǎng)直角邊為股，斜邊為弦，所以稱這個(gè)定理為勾股定理，也有人稱商高定理。以下是小編整理勾股定理應(yīng)用題和答案的資料，歡迎閱讀參考。

　　1．長(zhǎng)方體(或正方體)面上的兩點(diǎn)間的最短距離

　　長(zhǎng)方體(或正方體)是立體圖形，但它的每個(gè)面都是平面．若計(jì)算同一個(gè)面上的兩點(diǎn)之間的距離比較容易，若計(jì)算不同面上的兩點(diǎn)之間的距 離，就必須把它們轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平面內(nèi)，即把長(zhǎng)方體(或正方體)設(shè)法展開成為一個(gè)平面，使計(jì)算距離的兩個(gè)點(diǎn)處在同一個(gè)平面中，這樣就可以利用勾股定理加以解決了．所以立體圖形中求兩點(diǎn)之間的 最短距離，一定要審清題意，弄清楚到底是同一平面中兩點(diǎn)間的距離問題還是異面上兩點(diǎn)間的距離問題．

　　談重點(diǎn) 長(zhǎng)方體表面上兩點(diǎn)間最短距離

　　因?yàn)殚L(zhǎng)方體的展開圖不止一種情況，故對(duì)長(zhǎng)方體相鄰的兩個(gè)面展開時(shí)，考慮要全面，不要有所遺漏．不過要留意展開時(shí)的多種情況，雖然看似很多，但由于長(zhǎng)方體的`對(duì)面是相同的，所以歸納起來只需討論三種情況——前面和右面展開，前面和上面展開，左面和上面展開，從而比較取其最小值即可．

　　【例1】①是一個(gè)棱長(zhǎng)為3 c的正方體，它的6個(gè)表面都分別被分成了3×3的小正方形，其邊長(zhǎng)為1 c。現(xiàn)在有一只爬行速度為2 c/s的螞蟻，從下底面的A點(diǎn)沿著正方體的表面爬行到右側(cè)表面上的B點(diǎn)，小明把螞蟻爬行的時(shí)間記錄了下來，是2。5 s．經(jīng)過簡(jiǎn)短的思考，小明先是臉上露出了驚訝的表情，然后又露出了欣賞的目光．

　　你 知道小明為什么會(huì)佩服這只螞蟻的舉動(dòng)嗎？

　　解：②，在Rt△ABD中，AD＝4 c，BD＝3 c。

　　由勾股定理，AB2＝BD2＋AD2＝32 ＋42＝25，AB＝5 c，∴螞蟻的爬行距離為5 c。

　　又知道螞蟻的爬行速度為2 c/s，

　　∴它從點(diǎn)A沿著正方體的表面爬行到點(diǎn)B處，需要時(shí)間為52＝2。5 s。

　　小明通過思考、判斷，發(fā)現(xiàn)螞蟻爬行的時(shí)間恰恰就是選擇了這種最優(yōu)的方式，所以他感到驚訝和佩服．

　　【例2】一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別為5 d,3 d和1 d，A和B是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物．請(qǐng)你想一想，這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)的最短路程是多少？

　　分析：由于螞蟻是沿臺(tái)階的表面由A爬行到B，故需把三個(gè)臺(tái)階展開成平面圖形

　　解：將臺(tái)階展開成平面圖形后，可知AC＝5 d，BC＝3×(3＋1)＝12 d，∠C＝90°。

　　在Rt△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2，

　　∴AB2＝52＋122＝132，

　　∴AB＝13 d。

　　故 螞蟻爬到B點(diǎn)的最短路程是13 d。

　　4．如何正確利用勾股定理及其逆定理解決生活中的問題

　　利用勾股定理及其逆定理解決生活中的實(shí)際問題，重要的是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型(直角三角形模型)，將實(shí)際問題中的“數(shù)”轉(zhuǎn)化為定理中的“形”，再轉(zhuǎn)化為“數(shù)”．解題的關(guān)鍵是深刻理解題意，并畫出符合條件的圖形．

　　解決幾何體表面上兩點(diǎn)之間的最短距離問題的關(guān)鍵是要設(shè)法把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，具體步驟是：

　　(1)把立體圖形展成平面圖形；

　　(2)確定點(diǎn)的位置；

　　(3)確定直角三角形；

　　(4)分析直角三角形的邊長(zhǎng)，用勾股定理求解．

　　求出CD的長(zhǎng)嗎？

　　解：設(shè)CD＝x c，由題意知DE＝x c，BD＝(8－x) c，AE＝AC＝6 c，

　　在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝AC2＋BC2＝10 c。

　　于是BE＝10－6＝4 c。

　　在Rt△BDE中，由勾股定理得42＋x2＝(8－x)2， 解得x＝3。

　　故CD的長(zhǎng)為3 c。