換底公式的兩種證明方法

換底公式的兩種證明方法

　　換底公式是一個(gè)比較重要的公式，在很多對(duì)數(shù)的計(jì)算中都要使用，也是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)。另有兩個(gè)推論。

　　loga(b)表示以a為底的b的對(duì)數(shù)。

　　換底公式一：log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)(a,c均大于零且不等于1)

　　推導(dǎo)過程

　　若有對(duì)數(shù)log(a)(b)設(shè)a=n^x,b=n^y(n>0,且n不為1)如：log(10)(5)=log(5)(5)/log(5)(10)

　　則log(a)(b)=log(n^x)(n^y)

　　根據(jù)對(duì)數(shù)的基本公式

　　log(a)(M^n)=nloga(M)和基本公式log(a^n)M=1/n×log(a)M

　　易得

　　log(n^x)(n^y)=ylog(n^x)(n)=y/xlog(n)(n)=y/x

　　由a=n^x,b=n^y可得x=log(n)(a),y=log(n)(b)

　　則有：log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a)

　　得證：log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a)

　　例子：log(a)(c)*log(c)(a)=log(c)(c)/log(c)(a)*log(c)(a)=log(c)(c)=1

　　公式二：log(a)(b)=1/log(b)(a)

　　證明如下：

　　由換底公式log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)----取以b為底的對(duì)數(shù)

　　log(b)(b)=1=1/log(b)(a)還可變形得:log(a)(b)×log(b)(a)=1

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