排列組合教案

時(shí)間：2023-03-06 12:50:12 教案我要投稿

排列組合教案

　　作為一位杰出的老師，編寫(xiě)教案是必不可少的，通過(guò)教案準(zhǔn)備可以更好地根據(jù)具體情況對(duì)教學(xué)進(jìn)程做適當(dāng)?shù)谋匾恼{(diào)整。那么應(yīng)當(dāng)如何寫(xiě)教案呢？以下是小編為大家收集的排列組合教案，歡迎大家借鑒與參考，希望對(duì)大家有所幫助。

排列組合教案

排列組合教案1

　　教學(xué)目標(biāo)

　　（1）正確理解排列的意義。能利用樹(shù)形圖寫(xiě)出簡(jiǎn)單問(wèn)題的所有排列；

　�。�2）了解排列和排列數(shù)的意義，能根據(jù)具體的問(wèn)題，寫(xiě)出符合要求的排列；

　�。�3）掌握排列數(shù)公式，并能根據(jù)具體的問(wèn)題，寫(xiě)出符合要求的排列數(shù)；

　　（4）會(huì)分析與數(shù)字有關(guān)的排列問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力；

　�。�5）通過(guò)對(duì)排列應(yīng)用問(wèn)題的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生通過(guò)對(duì)具體事例的觀察、歸納中找出規(guī)律，得出結(jié)論，以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。

　　教學(xué)建議

　　一、知識(shí)結(jié)構(gòu)

　　二、重點(diǎn)難點(diǎn)分析

　　本小節(jié)的重點(diǎn)是排列的定義、排列數(shù)及排列數(shù)的公式，并運(yùn)用這個(gè)公式去解決有關(guān)排列數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題。難點(diǎn)是導(dǎo)出排列數(shù)的公式和解有關(guān)排列的應(yīng)用題。突破重點(diǎn)、難點(diǎn)的關(guān)鍵是對(duì)加法原理和乘法原理的掌握和運(yùn)用，并將這兩個(gè)原理的基本思想方法貫穿在解決排列應(yīng)用問(wèn)題當(dāng)中。

　　從n個(gè)不同元素中任�。ā躰）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，稱為從n個(gè)不同元素中任取個(gè)元素的一個(gè)排列。因此，兩個(gè)相同排列，當(dāng)且僅當(dāng)他們的元素完全相同，并且元素的排列順序也完全相同。排列數(shù)是指從n個(gè)不同元素中任�。ā躰）個(gè)元素的所有不同排列的種數(shù)，只要弄清相同排列、不同排列，才有可能計(jì)算相應(yīng)的排列數(shù)。排列與排列數(shù)是兩個(gè)概念，前者是具有個(gè)元素的排列，后者是這種排列的不同種數(shù)。從集合的角度看，從n個(gè)元素的有限集中取出個(gè)組成的有序集，相當(dāng)于一個(gè)排列，而這種有序集的個(gè)數(shù)，就是相應(yīng)的排列數(shù)。

　　公式推導(dǎo)要注意緊扣乘法原理，借助框圖的直視解釋來(lái)講解。要重點(diǎn)分析好的推導(dǎo)。

　　排列的應(yīng)用題是本節(jié)教材的難點(diǎn)，通過(guò)本節(jié)例題的分析，應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生解決應(yīng)用問(wèn)題的能力。

　　在分析應(yīng)用題的解法時(shí)，教材上先畫(huà)出框圖，然后分析逐次填入時(shí)的種數(shù)，這樣解釋比較直觀，教學(xué)上要充分利用，要求學(xué)生作題時(shí)也應(yīng)盡量采用。

　　在教學(xué)排列應(yīng)用題時(shí)，開(kāi)始應(yīng)要求學(xué)生寫(xiě)解法要有簡(jiǎn)要的文字說(shuō)明，防止單純的只寫(xiě)一個(gè)排列數(shù)，這樣可以培養(yǎng)學(xué)生的分析問(wèn)題的能力，在基本掌握之后，可以逐漸地不作這方面的要求。

　　三、教法建議

　�、僭谥v解排列數(shù)的概念時(shí)，要注意區(qū)分“排列數(shù)”與“一個(gè)排列”這兩個(gè)概念。一個(gè)排列是指“從n個(gè)不同元素中，任取出個(gè)元素，按照一定的順序擺成一排”，它不是一個(gè)數(shù)，而是具體的一件事；排列數(shù)是指“從n個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)”，它是一個(gè)數(shù)。例如，從3個(gè)元素a，b，c中每次取出2個(gè)元素，按照一定的順序排成一排，有如下幾種：

　　ab，ac，ba，bc，ca，cb，

　　其中每一種都叫一個(gè)排列，共有6種，而數(shù)字6就是排列數(shù)，符號(hào)表示排列數(shù)。

　�、谂帕械亩x中包含兩個(gè)基本內(nèi)容，一是“取出元素”，二是“按一定順序排列”。

　　從定義知，只有當(dāng)元素完全相同，并且元素排列的順序也完全相同時(shí)，才是同一個(gè)排列，元素完全不同，或元素部分相同或元素完全相同而順序不同的排列，都不是同一排列。叫不同排列。

　　在定義中“一定順序”就是說(shuō)與位置有關(guān)，在實(shí)際問(wèn)題中，要由具體問(wèn)題的性質(zhì)和條件來(lái)決定，這一點(diǎn)要特別注意，這也是與后面學(xué)習(xí)的組合的根本區(qū)別。

　　在排列的定義中，如果有的書(shū)上叫選排列，如果，此時(shí)叫全排列。

　　要特別注意，不加特殊說(shuō)明，本章不研究重復(fù)排列問(wèn)題。

　　③關(guān)于排列數(shù)公式的推導(dǎo)的教學(xué)。公式推導(dǎo)要注意緊扣乘法原理，借助框圖的直視解釋來(lái)講解。課本上用的是不完全歸納法，先推導(dǎo)，…，再推廣到，這樣由特殊到一般，由具體到抽象的講法，學(xué)生是不難理解的

　　導(dǎo)出公式后要分析這個(gè)公式的構(gòu)成特點(diǎn)，以便幫助學(xué)生正確地記憶公式，防止學(xué)生在“n”、“”比較復(fù)雜的時(shí)候把公式寫(xiě)錯(cuò)。這個(gè)公式的特點(diǎn)可見(jiàn)課本第229頁(yè)的一段話：“其中，公式右邊第一個(gè)因數(shù)是n，后面每個(gè)因數(shù)都比它前面一個(gè)因數(shù)少1，最后一個(gè)因數(shù)是，共個(gè)因數(shù)相乘�！边@實(shí)際是講三個(gè)特點(diǎn)：第一個(gè)因數(shù)是什么？最后一個(gè)因數(shù)是什么？一共有多少個(gè)連續(xù)的自然數(shù)相乘。

　　公式是在引出全排列數(shù)公式后，將排列數(shù)公式變形后得到的公式。對(duì)這個(gè)公式指出兩點(diǎn)：（1）在一般情況下，要計(jì)算具體的排列數(shù)的值，常用前一個(gè)公式，而要對(duì)含有字母的排列數(shù)的式子進(jìn)行變形或作有關(guān)的論證，要用到這個(gè)公式，教材中第230頁(yè)例2就是用這個(gè)公式證明的問(wèn)題；（2）為使這個(gè)公式在時(shí)也能成立，規(guī)定，如同時(shí)一樣，是一種規(guī)定，因此，不能按階乘數(shù)的原意作解釋。

　　④建議應(yīng)充分利用樹(shù)形圖對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析，這樣比較直觀，便于理解。

　�、輰W(xué)生在開(kāi)始做排列應(yīng)用題的作業(yè)時(shí)，應(yīng)要求他們寫(xiě)出解法的簡(jiǎn)要說(shuō)明，而不能只列出算式、得出答數(shù)，這樣有利于學(xué)生得更加扎實(shí)。隨著學(xué)生解題熟練程度的提高，可以逐步降低這種要求。

　　教學(xué)設(shè)計(jì)示例

　　排列

　　教學(xué)目標(biāo)

　　（1）正確理解排列的意義。能利用樹(shù)形圖寫(xiě)出簡(jiǎn)單問(wèn)題的所有排列；

　　（2）了解排列和排列數(shù)的意義，能根據(jù)具體的問(wèn)題，寫(xiě)出符合要求的排列；

　　（3）會(huì)分析與數(shù)字有關(guān)的排列問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力；

　　教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)

　　重點(diǎn)是排列的定義、排列數(shù)并運(yùn)用這個(gè)公式去解決有關(guān)排列數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題。

　　難點(diǎn)是解有關(guān)排列的應(yīng)用題。

　　教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

　　一、復(fù)習(xí)引入

　　上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了兩個(gè)基本原理，請(qǐng)大家完成以下兩題的練習(xí)（用投影儀出示）：

　　1。書(shū)架上層放著50本不同的社會(huì)科學(xué)書(shū)，下層放著40本不同的自然科學(xué)的書(shū)。

　�。�1）從中任取1本，有多少種取法？

　　（2）從中任取社會(huì)科學(xué)書(shū)與自然科學(xué)書(shū)各1本，有多少種不同的取法？

　　2。某農(nóng)場(chǎng)為了考察三個(gè)外地優(yōu)良品種A，B，C，計(jì)劃在甲、乙、丙、丁、戊共五種類型的土地上分別進(jìn)行引種試驗(yàn)，問(wèn)共需安排多少個(gè)試驗(yàn)小區(qū)？

　　找一同學(xué)談解答并說(shuō)明怎樣思考的的過(guò)程

　　第1（1）小題從書(shū)架上任取1本書(shū)，有兩類辦法，第一類辦法是從上層取社會(huì)科學(xué)書(shū)，可以從50本中任取1本，有50種方法；第二類辦法是從下層取自然科學(xué)書(shū)，可以從40本中任取1本，有40種方法。根據(jù)加法原理，得到不同的取法種數(shù)是50+40=90。第（2）小題從書(shū)架上取社會(huì)科學(xué)、自然科學(xué)書(shū)各1本（共取出2本），可以分兩個(gè)步驟完成：第一步取一本社會(huì)科學(xué)書(shū)，第二步取一本自然科學(xué)書(shū)，根據(jù)乘法原理，得到不同的取法種數(shù)是： 50×40=20xx。

　　第2題說(shuō)，共有A，B，C三個(gè)優(yōu)良品種，而每個(gè)品種在甲類型土地上實(shí)驗(yàn)有三個(gè)小區(qū)，在乙類型的土地上有三個(gè)小區(qū)……所以共需3×5=15個(gè)實(shí)驗(yàn)小區(qū)。

　　二、講授新課

　　學(xué)習(xí)了兩個(gè)基本原理之后，現(xiàn)在我們繼續(xù)學(xué)習(xí)排列問(wèn)題，這是我們本節(jié)討論的重點(diǎn)。先從實(shí)例入手：

　　1。北京、上海、廣州三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線，需要準(zhǔn)備多少種不同飛機(jī)票？

　　由學(xué)生設(shè)計(jì)好方案并回答。

　�。�1）用加法原理設(shè)計(jì)方案。

　　首先確定起點(diǎn)站，如果北京是起點(diǎn)站，終點(diǎn)站是上�；驈V州，需要制2種飛機(jī)票，若起點(diǎn)站是上海，終點(diǎn)站是北京或廣州，又需制2種飛機(jī)票；若起點(diǎn)站是廣州，終點(diǎn)站是北京或上海，又需要2種飛機(jī)票，共需要2+2+2=6種飛機(jī)票。

　�。�2）用乘法原理設(shè)計(jì)方案。

　　首先確定起點(diǎn)站，在三個(gè)站中，任選一個(gè)站為起點(diǎn)站，有3種方法。即北京、上海、廣泛任意一個(gè)城市為起點(diǎn)站，當(dāng)選定起點(diǎn)站后，再確定終點(diǎn)站，由于已經(jīng)選了起點(diǎn)站，終點(diǎn)站只能在其余兩個(gè)站去選。那么，根據(jù)乘法原理，在三個(gè)民航站中，每次取兩個(gè)，按起點(diǎn)站在前、終點(diǎn)站在后的順序排列不同方法共有3×2=6種。

　　根據(jù)以上分析由學(xué)生（板演）寫(xiě)出所有種飛機(jī)票

　　再看一個(gè)實(shí)例。

　　在航海中，船艦常以“旗語(yǔ)”相互聯(lián)系，即利用不同顏色的旗子發(fā)送出各種不同的信號(hào)。如有紅、黃、綠三面不同顏色的旗子，按一定順序同時(shí)升起表示一定的信號(hào)，問(wèn)這樣總共可以表示出多少種不同的信號(hào)？

　　找學(xué)生談自己對(duì)這個(gè)問(wèn)題的想法。

　　事實(shí)上，紅、黃、綠三面旗子按一定順序的一個(gè)排法表示一種信號(hào)，所以不同顏色的同時(shí)升起可以表示出來(lái)的信號(hào)種數(shù)，也就是紅、黃、綠這三面旗子的所有不同順序的排法總數(shù)。

　　首先，先確定最高位置的旗子，在紅、黃、綠這三面旗子中任取一個(gè)，有3種方法；

　　其次，確定中間位置的旗子，當(dāng)最高位置確定之后，中間位置的旗子只能從余下的兩面旗中去取，有2種方法。剩下那面旗子，放在最低位置。

　　根據(jù)乘法原理，用紅、黃、綠這三面旗子同時(shí)升起表示出所有信號(hào)種數(shù)是：3×2×1=6（種）。

　　根據(jù)學(xué)生的分析，由另外的同學(xué)（板演）寫(xiě)出三面旗子同時(shí)升起表示信號(hào)的所有情況。（包括每個(gè)位置情況）

　　第三個(gè)實(shí)例，讓全體學(xué)生都參加設(shè)計(jì)，把所有情況（包括每個(gè)位置情況）寫(xiě)出來(lái)。

　　由數(shù)字1，2，3，4可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？寫(xiě)出這些所有的三位數(shù)。

　　根據(jù)乘法原理，從四個(gè)不同的數(shù)字中，每次取出三個(gè)排成三位數(shù)的方法共有4×3×2=24（個(gè)）。

　　請(qǐng)板演的學(xué)生談?wù)勗鯓酉氲模?/p>

　　第一步，先確定百位上的數(shù)字。在1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)，有4種取法。

　　第二步，確定十位上的數(shù)字。當(dāng)百位上的數(shù)字確定以后，十位上的數(shù)字只能從余下的三個(gè)數(shù)字去取，有3種方法。

　　第三步，確定個(gè)位上的數(shù)字。當(dāng)百位、十位上的數(shù)字都確定以后，個(gè)位上的數(shù)字只能從余下的兩個(gè)數(shù)字中去取，有2種方法。

　　根據(jù)乘法原理，所以共有4×3×2=24種。

　　下面由教師提問(wèn)，學(xué)生回答下列問(wèn)題

　�。�1）以上我們討論了三個(gè)實(shí)例，這三個(gè)問(wèn)題有什么共同的'地方？

　　都是從一些研究的對(duì)象之中取出某些研究的對(duì)象。

　�。�2）取出的這些研究對(duì)象又做些什么？

　　實(shí)質(zhì)上按著順序排成一排，交換不同的位置就是不同的情況。

　　（3）請(qǐng)大家看書(shū)，第×頁(yè)、第×行。我們把被取的對(duì)象叫做雙元素，如上面問(wèn)題中的民航站、旗子、數(shù)字都是元素。

　　上面第一個(gè)問(wèn)題就是從3個(gè)不同的元素中，任取2個(gè)，然后按一定順序排成一列，求一共有多少種不同的排法，后來(lái)又寫(xiě)出所有排法。

　　第二個(gè)問(wèn)題，就是從3個(gè)不同元素中，取出3個(gè)，然后按一定順序排成一列，求一共有多少排法和寫(xiě)出所有排法。

　　第三個(gè)問(wèn)題呢？

　　從4個(gè)不同的元素中，任取3個(gè)，然后按一定的順序排成一列，求一共有多少種不同的排法，并寫(xiě)出所有的排法。

　　給出排列定義

　　請(qǐng)看課本，第×頁(yè)，第×行。一般地說(shuō)，從n個(gè)不同的元素中，任�。ā躰）個(gè)元素（本章只研究被取出的元素各不相同的情況），按著一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列。

　　下面由教師提問(wèn)，學(xué)生回答下列問(wèn)題

　　（1）按著這個(gè)定義，結(jié)合上面的問(wèn)題，請(qǐng)同學(xué)們談?wù)勈裁词窍嗤呐帕�？什么是不同的排列�?/p>

　　從排列的定義知道，如果兩個(gè)排列相同，不僅這兩個(gè)排列的元素必須完全相同，而且排列的順序（即元素所在的位置）也必須相同。兩個(gè)條件中，只要有一個(gè)條件不符合，就是不同的排列。

　　如第一個(gè)問(wèn)題中，北京—廣州，上�！獜V州是兩個(gè)排列，第三個(gè)問(wèn)題中，213與423也是兩個(gè)排列。

　　再如第一個(gè)問(wèn)題中，北京—廣州，廣州—北京；第二個(gè)問(wèn)題中，紅黃綠與紅綠黃；第三個(gè)問(wèn)題中231和213雖然元素完全相同，但排列順序不同，也是兩個(gè)排列。

　�。�2）還需要搞清楚一個(gè)問(wèn)題，“一個(gè)排列”是不是一個(gè)數(shù)？

　　生：“一個(gè)排列”不應(yīng)當(dāng)是一個(gè)數(shù)，而應(yīng)當(dāng)指一件具體的事。如飛機(jī)票“北京—廣州”是一個(gè)排列，“紅黃綠”是一種信號(hào)，也是一個(gè)排列。如果問(wèn)飛機(jī)票有多少種？能表示出多少種信號(hào)。只問(wèn)種數(shù)，不用把所有情況羅列出來(lái)，才是一個(gè)數(shù)。前面提到的第三個(gè)問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上也是這樣的

　　三、課堂練習(xí)

　　大家思考，下面的排列問(wèn)題怎樣解？

　　有四張卡片，每張分別寫(xiě)著數(shù)碼1，2，3，4。有四個(gè)空箱，分別寫(xiě)著號(hào)碼1，2，3，4。把卡片放到空箱內(nèi)，每箱必須并且只能放一張，而且卡片數(shù)碼與箱子號(hào)碼必須不一致，問(wèn)有多少種放法？（用投影儀示出）

　　分析：這是從四張卡片中取出4張，分別放在四個(gè)位置上，只要交換卡片位置，就是不同的放法，是個(gè)附有條件的排列問(wèn)題。

　　解法是：第一步把數(shù)碼卡片四張中2，3，4三張任選一個(gè)放在第1空箱。

　　第二步從余下的三張卡片中任選符合條件的一張放在第2空箱。

　　第三步從余下的兩張卡片中任選符合條件的一張放在第3空箱。

　　第四步把最后符合條件的一張放在第四空箱。具體排法，用下面圖表表示：

　　所以，共有9種放法。

　　四、作業(yè)

　　課本：P232練習(xí)1，2，3，4，5，6，7。

　　數(shù)學(xué)教案—排列教學(xué)目標(biāo)

排列組合教案2

　　一．課標(biāo)要求：

　　1．分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理

　　通過(guò)實(shí)例，總結(jié)出分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理；能根據(jù)具體問(wèn)題的特征，選擇分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；

　　2．排列與組合

　　通過(guò)實(shí)例，理解排列、組合的概念；能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；

　　3．二項(xiàng)式定理

　　能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理；會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題。

　　二．命題走向

　　本部分內(nèi)容主要包括分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理、排列與組合、二項(xiàng)式定理三部分；考查內(nèi)容：（1）兩個(gè)原理；（2）排列、組合的概念，排列數(shù)和組合數(shù)公式，排列和組合的應(yīng)用；（3）二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)及二項(xiàng)式系數(shù)和。

　　排列、組合不僅是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，而且在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用，因此新高考會(huì)有題目涉及；二項(xiàng)式定理是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考每年必考內(nèi)容，新高考會(huì)繼續(xù)考察。

　　考察形式：?jiǎn)为?dú)的考題會(huì)以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬于中低難度的題目，排列組合有時(shí)與概率結(jié)合出現(xiàn)在解答題中難度較小，屬于高考題中的中低檔題目。

　　三．要點(diǎn)精講

　　1．排列、組合、二項(xiàng)式知識(shí)相互關(guān)系表

　　2．兩個(gè)基本原理

　　（1）分類計(jì)數(shù)原理中的分類；

　�。�2）分步計(jì)數(shù)原理中的分步；

　　正確地分類與分步是學(xué)好這一章的關(guān)鍵。

　　3．排列

　　（1）排列定義，排列數(shù)

　�。�2）排列數(shù)公式：系= =n·（n－1）…（n－m+1）；

　�。�3）全排列列：=n�。�

　�。�4）記住下列幾個(gè)階乘數(shù)：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；

　　4．組合

　　（1）組合的定義，排列與組合的區(qū)別；

　�。�2）組合數(shù)公式：Cnm= =；

　�。�3）組合數(shù)的性質(zhì)

　�、貱nm=Cnn—m；②；③rCnr=n·Cn—1r—1；④Cn0+Cn1+…+Cnn=2n；⑤Cn0—Cn1+…+（—1）nCnn=0，即Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+…=2n—1；

　　5．二項(xiàng)式定理

　�。�1）二項(xiàng)式展開(kāi)公式：（a+b）n=Cn0an+Cn1an—1b+…+Cnkan—kbk+…+Cnnbn；

　�。�2）通項(xiàng)公式：二項(xiàng)式展開(kāi)式中第k+1項(xiàng)的通項(xiàng)公式是：Tk+1=Cnkan—kbk；

　　6．二項(xiàng)式的應(yīng)用

　�。�1）求某些多項(xiàng)式系數(shù)的和；

　�。�2）證明一些簡(jiǎn)單的組合恒等式；

　�。�3）證明整除性。①求數(shù)的末位；②數(shù)的整除性及求系數(shù)；③簡(jiǎn)單多項(xiàng)式的整除問(wèn)題；

　�。�4）近似計(jì)算。當(dāng)|x|充分小時(shí)，我們常用下列公式估計(jì)近似值：

　�、伲�1+x）n≈1+nx；②（1+x）n≈1+nx+ x2；（5）證明不等式。

　　四．典例解析

　　題型1：計(jì)數(shù)原理

　　例1．完成下列選擇題與填空題

　　（1）有三個(gè)不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，則不同的投法有種。

　　A．81 B．64 C．24 D．4

　　（2）四名學(xué)生爭(zhēng)奪三項(xiàng)冠軍，獲得冠軍的可能的種數(shù)是（）

　　A．81 B．64 C．24 D．4

　　（3）有四位學(xué)生參加三項(xiàng)不同的競(jìng)賽，

　�、倜课粚W(xué)生必須參加一項(xiàng)競(jìng)賽，則有不同的參賽方法有；

　　②每項(xiàng)競(jìng)賽只許有一位學(xué)生參加，則有不同的參賽方法有；

　　③每位學(xué)生最多參加一項(xiàng)競(jìng)賽，每項(xiàng)競(jìng)賽只許有一位學(xué)生參加，則不同的參賽方法有。

　　例2．（06江蘇卷）今有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球、4個(gè)白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個(gè)球排成一列有種不同的方法（用數(shù)字作答）。

　　點(diǎn)評(píng)：分步計(jì)數(shù)原理與分類計(jì)數(shù)原理是排列組合中解決問(wèn)題的重要手段，也是基礎(chǔ)方法，在高中數(shù)學(xué)中，只有這兩個(gè)原理，尤其是分類計(jì)數(shù)原理與分類討論有很多相通之處，當(dāng)遇到比較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，用分類的方法可以有效的將之化簡(jiǎn)，達(dá)到求解的目的。

　　題型2：排列問(wèn)題

　　例3．（1）（20xx四川理卷13）

　　展開(kāi)式中的系數(shù)為？______ _________。

　　【點(diǎn)評(píng)】：此題重點(diǎn)考察二項(xiàng)展開(kāi)式中指定項(xiàng)的系數(shù)，以及組合思想；

　�。�2）．20xx湖南省長(zhǎng)沙云帆實(shí)驗(yàn)學(xué)校理科限時(shí)訓(xùn)練

　　若n展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)與含項(xiàng)的系數(shù)之比為－5，則n等于（）

　　A．4 B．6 C．8 D．10

　　點(diǎn)評(píng)：合理的應(yīng)用排列的公式處理實(shí)際問(wèn)題，首先應(yīng)該進(jìn)入排列問(wèn)題的情景，想清楚我處理時(shí)應(yīng)該如何去做。

　　例4．（1）用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則其中數(shù)字1，2相鄰的偶數(shù)有個(gè)（用數(shù)字作答）；

　�。�2）電視臺(tái)連續(xù)播放6個(gè)廣告，其中含4個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則共有種不同的播放方式（結(jié)果用數(shù)值表示）。

　　點(diǎn)評(píng)：排列問(wèn)題不可能解決所有問(wèn)題，對(duì)于較復(fù)雜的問(wèn)題都是以排列公式為輔助。

　　題型三：組合問(wèn)題

　　例5．荊州市20xx屆高中畢業(yè)班質(zhì)量檢測(cè)（Ⅱ）

　�。�1）將4個(gè)相同的白球和5個(gè)相同的黑球全部放入3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子既要有白球，又要有黑球，且每個(gè)盒子中都不能同時(shí)只放入2個(gè)白球和2個(gè)黑球，則所有不同的放法種數(shù)為（C）A。3 B。6 C。12 D。18

　　（2）將4個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號(hào)為1和2的兩個(gè)盒子里，使得放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號(hào)，則不同的放球方法有（）

　　A．10種B．20種C．36種D．52種

　　點(diǎn)評(píng)：計(jì)數(shù)原理是解決較為復(fù)雜的排列組合問(wèn)題的基礎(chǔ)，應(yīng)用計(jì)數(shù)原理結(jié)合

　　例6．（1）某校從8名教師中選派4名教師同時(shí)去4個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教（每地1人），其中甲和乙不同去，則不同的選派方案共有種；

　　（2）5名志愿者分到3所學(xué)校支教，每個(gè)學(xué)校至少去一名志愿者，則不同的分派方法共有（）

　�。ˋ）150種（B）180種（C）200種（D）280種

　　點(diǎn)評(píng)：排列組合的交叉使用可以處理一些復(fù)雜問(wèn)題，諸如分組問(wèn)題等；

　　題型4：排列、組合的綜合問(wèn)題

　　例7．平面上給定10個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線，由這10個(gè)點(diǎn)確定的直線中，無(wú)三條直線交于同一點(diǎn)（除原10點(diǎn)外），無(wú)兩條直線互相平行。求：（1）這些直線所交成的點(diǎn)的個(gè)數(shù)（除原10點(diǎn)外）。（2）這些直線交成多少個(gè)三角形。

　　點(diǎn)評(píng)：用排列、組合解決有關(guān)幾何計(jì)算問(wèn)題，除了應(yīng)用排列、組合的各種方法與對(duì)策之外，還要考慮實(shí)際幾何意義。

　　例8．已知直線ax+by+c=0中的a，b，c是取自集合{－3，－2，－1，0，1，2，3}中的3個(gè)不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，求符合這些條件的直線的條數(shù)。

　　點(diǎn)評(píng)：本題是1999年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中的一填空題，據(jù)抽樣分析正確率只有0。37。錯(cuò)誤原因沒(méi)有對(duì)c=0與c≠0正確分類；沒(méi)有考慮c=0中出現(xiàn)重復(fù)的直線。

　　題型5：二項(xiàng)式定理

　　例9．（1）（20xx湖北卷）

　　在的展開(kāi)式中，的冪的指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有

　　A．3項(xiàng)B．4項(xiàng)C．5項(xiàng)D．6項(xiàng)

　　（2）的展開(kāi)式中含x的.正整數(shù)指數(shù)冪的項(xiàng)數(shù)是

　�。ˋ）0（B）2（C）4（D）6

　　點(diǎn)評(píng)：多項(xiàng)式乘法的進(jìn)位規(guī)則。在求系數(shù)過(guò)程中，盡量先化簡(jiǎn)，降底數(shù)的運(yùn)算級(jí)別，盡量化成加減運(yùn)算，在運(yùn)算過(guò)程可以適當(dāng)注意令值法的運(yùn)用，例如求常數(shù)項(xiàng)，可令。在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，要注意項(xiàng)的系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別。

　　例10．（20xx湖南文13）

　　記的展開(kāi)式中第m項(xiàng)的系數(shù)為，若，則=____5______。

　　題型6：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

　　例11．（1）求4×6n+5n+1被20除后的余數(shù)；

　�。�2）7n+Cn17n—1+Cn2·7n—2+…+Cnn—1×7除以9，得余數(shù)是多少？

　　（3）根據(jù)下列要求的精確度，求1。025的近似值。①精確到0。01；②精確到0。001。

　　點(diǎn)評(píng)：（1）用二項(xiàng)式定理來(lái)處理余數(shù)問(wèn)題或整除問(wèn)題時(shí)，通常把底數(shù)適當(dāng)?shù)夭鸪蓛身?xiàng)之和或之差再按二項(xiàng)式定理展開(kāi)推得所求結(jié)論；

　　（2）用二項(xiàng)式定理來(lái)求近似值，可以根據(jù)不同精確度來(lái)確定應(yīng)該取到展開(kāi)式的第幾項(xiàng)。

　　五．思維總結(jié)

　　解排列組合應(yīng)用題的基本規(guī)律

　　1．分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理使用方法有兩種：①單獨(dú)使用；②聯(lián)合使用。

　　2．將具體問(wèn)題抽象為排列問(wèn)題或組合問(wèn)題，是解排列組合應(yīng)用題的關(guān)鍵一步。