初中數(shù)學(xué)概念PCK內(nèi)涵解析與實施方法論文
摘 要：教學(xué)實踐表明，課堂教學(xué)的有效性離不開教師的引導(dǎo)，教師引導(dǎo)的有效性決定于教師的專業(yè)水平。根據(jù)初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的地位和特點，結(jié)合 PCK 內(nèi)涵的四個組成部分進行數(shù)學(xué)概念的 PCK 內(nèi)涵解析，能幫助教師深刻理解概念本質(zhì)、認識概念教學(xué)的學(xué)科教育價值，能夠理解學(xué)生的經(jīng)驗與困難，可以進一步闡釋概念的本質(zhì)屬性，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，設(shè)計恰當?shù)慕虒W(xué)策略，可以提升概念教學(xué)的有效性。
關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)；PCK 內(nèi)涵解析；數(shù)學(xué)概念 PCK 內(nèi)涵。
一、初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的意義及一般方法。
�。ㄒ唬┏踔袛�(shù)學(xué)概念教學(xué)的意義。
概念是事物本質(zhì)屬性在人腦中的反映，是思維的基本形式之一，是進行判斷和推理的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)概念是反映數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的思維形式，是形成數(shù)學(xué)知識體系的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)思想方法的重要載體。而數(shù)學(xué)概念教學(xué)的意義不僅在于讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念本身，更重要的是在獲得概念本質(zhì)屬性的過程中，通過觀察、比較、分析、歸納、抽象、概括等數(shù)學(xué)活動，發(fā)展學(xué)生的推理能力、抽象思維，體會數(shù)學(xué)的思想方法，促進學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的發(fā)展。因此，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)對數(shù)學(xué)學(xué)科和學(xué)生發(fā)展都有重要的意義。
（二）初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一般方法。
在初中數(shù)學(xué)課程中，概念眾多，南京師范學(xué)院的章飛教授就概念教學(xué)實施的角度，將概念分成 3 類（對象性概念、度量性概念、觀念性概念），其中的對象性概念是教學(xué)的重點之一。對象即數(shù)學(xué)的研究對象，如各種數(shù)、各種式、各種圖形的概念。概念教學(xué)的過程一般要經(jīng)歷：一是概念的引入（揭示研究的必要性）；二是概念的獲得（揭示概念本質(zhì)屬性的過程）；三是概念的鞏固與運用（了解概念的運用，在運用中進一步理解、鞏固概念）三個過程。其中概念的獲得最重要，它主要有兩種基本形式---概念的同化和概念的形成（具體見圖 1、圖 2）。
從圖中可以看出，“概念的同化”是直接明晰概念，通過教師的講解、解釋，學(xué)生逐步明確概念的內(nèi)涵；通過運用變式的材料和例證，學(xué)生明確概念的外延�！案拍畹男纬伞笔墙�(jīng)歷對具體特殊實例的特征的歸納、類比，檢驗后明確概念的本質(zhì)屬性；給出定義并用常用的形式符號表示概念。這就要求學(xué)生經(jīng)歷一個對概念本質(zhì)屬性的抽象過程，在此過程中發(fā)展學(xué)生的抽象思維、推理能力、符號意識、模型思想等，并使學(xué)生逐步形成數(shù)學(xué)的學(xué)科觀念。
可見，不管采用哪種方式，教師都必須準確、深刻地理解概念的本質(zhì)屬性，了解概念的內(nèi)涵外延，有清晰、完整的概念結(jié)構(gòu)體系。同時，要了解不同概念適用哪種概念獲得的方式。這就依靠教師對概念本身的理解，并設(shè)計出有效的概念教學(xué)策略。如果教師對概念本質(zhì)屬性的理解有偏差，對概念體系的認識不完整，對概念承載的數(shù)學(xué)教育價值不明確，那么，不論采取了怎樣的課堂模式和教學(xué)策略，都不能夠達成概念教學(xué)應(yīng)有的目標，也就不能體現(xiàn)概念教學(xué)的意義。
二、進行初中數(shù)學(xué)概念 PCK 內(nèi)涵解析的作用。
�。ㄒ唬┻\用 PCK 內(nèi)涵解析進行概念教學(xué)可以進一步闡釋概念的本質(zhì)屬性。
經(jīng)過十多年的新課程改革實驗，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011 年版）》倡導(dǎo)的教學(xué)理念已經(jīng)逐步轉(zhuǎn)化為教學(xué)行為，在概念教學(xué)中，教師一般都能讓學(xué)生經(jīng)歷概念形成的過程，很少出現(xiàn)“一個定義、幾項注意”的概念教學(xué)方式。但是，在“引導(dǎo)學(xué)生探究概念本質(zhì)屬性”的過程中，卻屢屢出現(xiàn)對本質(zhì)屬性理解不準確的問題。尤其是，初中數(shù)學(xué)教材中很多概念的定義是用“形式化定義”或“發(fā)生式定義”方式給出的，其定義并沒有揭示了概念的本質(zhì)屬性。在這些概念的教學(xué)中，教師就更容易出現(xiàn)將“形式化定義”作為概念本質(zhì)屬性的現(xiàn)象，在課堂上反復(fù)進行針對定義的辨析，而忽略引導(dǎo)學(xué)生體會概念所蘊含的豐富的問題情境、思想方法，使概念教學(xué)缺少了應(yīng)有的教育價值。這樣，既不能使學(xué)生深刻理解概念，也不能通過概念教學(xué)的過程發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。例如，在“方程概念”的教學(xué)中，有些教師認為“方程”概念的本質(zhì)屬性是“含有未知數(shù)的等式”,由此可見，在課堂上讓學(xué)生大量進行“判定下列各式是不是方程”的訓(xùn)練，使方程概念的教學(xué)成為辨析形式化定義的刻板過程，不能體現(xiàn)方程概念的教育價值。其實“方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效模型”,其本質(zhì)是：建立已知、未知之間的聯(lián)系，并借助已知求量求出未知量，繼而解決問題“.在方程概念的學(xué)習(xí)中，學(xué)生應(yīng)經(jīng)歷”用方程刻畫不同情境中的等量關(guān)系的過程“,抽象出”本質(zhì)屬性“,并體會”方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的重要模型“這一思想，以發(fā)展學(xué)生的抽象思維和模型思想，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科概念教學(xué)的價值。
�。ǘ┻M行初中數(shù)學(xué)概念 PCK 內(nèi)涵解析可以有效發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
正確理解概念的本質(zhì)特征是教師進行數(shù)學(xué)概念教學(xué)的必要前提，是通過概念教學(xué)發(fā)展學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)、體現(xiàn)概念教育價值的保證。那么，在概念教學(xué)中怎樣才能避免出現(xiàn)以上問題，從而體現(xiàn)概念教學(xué)的價值呢？
如二次函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，有利于發(fā)展學(xué)生”數(shù)學(xué)抽象“的核心素養(yǎng)，發(fā)展符號意識。抽象是數(shù)學(xué)最本質(zhì)的特征之一，也是數(shù)學(xué)最基本的思想之一。在二次函數(shù)概念教學(xué)時，學(xué)生將經(jīng)歷從豐富的實際問題中建立出函數(shù)關(guān)系式，然后分析所得到的函數(shù)關(guān)系的特點，抽象出共性特征，從而建立二次函數(shù)的'概念。在這個過程中，學(xué)生最主要的思維活動就是”抽象“,因此，合理設(shè)計二次函數(shù)概念的教學(xué)將有利于發(fā)展學(xué)生”數(shù)學(xué)抽象“的核心素養(yǎng)，同時在建立二次函數(shù)一般形式的過程中發(fā)展學(xué)生的符號意識。
再如，二次函數(shù)概念的教學(xué)，有利于發(fā)展學(xué)生”數(shù)學(xué)建�！暗暮诵乃仞B(yǎng)，體會數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性。二次函數(shù)在軍事、體育、物理、心理、建筑等現(xiàn)實世界中都有廣泛應(yīng)用，是一種重要的”數(shù)學(xué)模型“.在二次函數(shù)概念的學(xué)習(xí)中，學(xué)生需要分析不同情境中變量關(guān)系與變化規(guī)律，建立變量之間的函數(shù)關(guān)系式，這個過程就是”建�！�.
二次函數(shù)概念教學(xué)這一重要概念的教育價值還體現(xiàn)在”過程與方法“層面。對于學(xué)生而言，獲得二次函數(shù)概念的過程是”從特殊到一般再到特殊“的認識事物的過程，而二次函數(shù)所刻畫的問題的復(fù)雜性，更實現(xiàn)了學(xué)生研究函數(shù)問題經(jīng)驗與方法的進一步的積累與提升。
由引可見，對一個概念的”PCK 內(nèi)涵“作透徹解析，可以幫助教師深入理解所教概念的本質(zhì)，了解這一概念與其他內(nèi)容的聯(lián)系，獲得概念教學(xué)目標中的知識技能目標。能夠幫助教師理解數(shù)學(xué)內(nèi)容蘊含的數(shù)學(xué)思想方法、使學(xué)生在學(xué)習(xí)該知識的過程中能夠發(fā)展其數(shù)學(xué)素養(yǎng)、形成學(xué)科觀念。
三、初中數(shù)學(xué)概念 PCK 內(nèi)涵解析的認識與實施的方法。
�。ㄒ唬㏄CK 內(nèi)涵解析的認識。
PCK 即學(xué)科教學(xué)知識，是 Pedagogical ContentKnowledge 的簡稱，1986 年由美國的舒爾曼教授最先提出，將其定義為”特定教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)法的整合與轉(zhuǎn)換，是教師獨特的知識領(lǐng)域，是他們專業(yè)理解的特殊形式“.通俗地說，就是”使人易于懂得該學(xué)科內(nèi)容的表達和闡述方式“.
1990 年，格羅茲曼作為舒爾曼理論的繼承者，將PCK 內(nèi)涵分成四個部解：一是教師關(guān)于一門學(xué)科教學(xué)目的的統(tǒng)領(lǐng)性觀念---關(guān)于學(xué)科性質(zhì)的知識、關(guān)于學(xué)生學(xué)習(xí)哪些重要內(nèi)容的知識或觀念；二是關(guān)于學(xué)生對某一課題理解和誤解的知識；三是關(guān)于課程和教材的知識，它主要指關(guān)于教材和其他可用于特定主題教學(xué)的各種教學(xué)媒體和材料的知識，還包括學(xué)科內(nèi)容與其他知識之間的橫向和縱向聯(lián)系的結(jié)構(gòu)的知識；四是特定主題教學(xué)策略和表征的知識。
�。ǘ┏踔袛�(shù)學(xué)概念 PCK 內(nèi)涵解析的方法。
根據(jù) PCK 內(nèi)涵的四個方面，結(jié)合數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一般過程，進行數(shù)學(xué)概念 PCK 內(nèi)涵解析的具體步驟如下：一是解析數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性及教育價值；二是解析概念與其他概念的聯(lián)系；三是解析學(xué)生學(xué)習(xí)概念的經(jīng)驗與困惑；在三項解析的基礎(chǔ)上，設(shè)計概念教學(xué)的策略，概念教學(xué)解析的作用在于，解析對確定教學(xué)目標、設(shè)計教學(xué)策略有決定性的作用，解析準確透徹，目標會具體明確，策略也就具有針對性。
1.解析數(shù)學(xué)概念的特征。
首先，要解析數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵，即要指出”概念的內(nèi)涵（本質(zhì)屬性）、外延、定義、數(shù)學(xué)符號表示（圖形）、概念的作用“;這項分析能夠使教師明確概念對應(yīng)的”知識技能教學(xué)目標“.其次，要解析概念的教育價值，即要指出”概念蘊含的數(shù)學(xué)思想方法、獲得概念的過程中能夠發(fā)展的數(shù)學(xué)能力、形成的學(xué)科觀念、發(fā)展的學(xué)科基本素養(yǎng)；這項分析能夠使教師獲得本概念對應(yīng)的“過程性教學(xué)目標”.再次，要明確《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011 年版）》對此概念的要求，分解出課程標準要求的概念的各要素及其應(yīng)達到的水平，然后寫出概念教學(xué)的三維教學(xué)目標。解析概念的本質(zhì)屬性和教育價值，決定了本節(jié)教學(xué)目標的確定，實質(zhì)上，也就決定了教學(xué)策略的選擇與設(shè)計的方向。
例如，反比例函數(shù)的概念教學(xué)中，反比例函數(shù)的定義是形式化定義：“一般地，若兩個變量 x、y 之間的對應(yīng)關(guān)系可以表示成 y=kx（k 是常數(shù)，k≠0）的形式，則稱 y 是 x 的反比例函數(shù)”.顯然，定義是對其函數(shù)關(guān)系式的一般特征的描述，只是反比例函數(shù)概念描述的兩個變量變化規(guī)律：在變化的過程中，兩個變量 x,y 的乘積一定，即 xy=k.正因為其兩個變量乘積一定的本質(zhì)，才使得其具有 y=kx的形式。其外延是：一切具有 y=kx（k≠0）形式的函數(shù)或一切具有乘積一定的變量關(guān)系的函數(shù)是反比例函數(shù)。其數(shù)學(xué)符號表示可以有三種形式：表達式、圖象和表格；其作用是：分析現(xiàn)實情境中的數(shù)量關(guān)系，建立反比例函數(shù)模型后，利用反比例函數(shù)的表達式和圖象、性質(zhì)可以解決相應(yīng)的實際問題。
反比例函數(shù)概念的教育價值是要抽象出反比例函數(shù)概念的本質(zhì)屬性，其教學(xué)的過程應(yīng)該是從情境出發(fā)，抽象模型。抽象分兩個角度，一是用表達式描述各個情境中的變量關(guān)系，從表達式的共同特征獲得 y=kx的形式特征；二是用表格表示各個情境中的變量關(guān)系，讓學(xué)生體會變量之間乘積一定的相依變化關(guān)系。在這樣的學(xué)習(xí)過程中，教師應(yīng)注意發(fā)展學(xué)生的分析能力和符號意識；同時，要對不同情境下的變量關(guān)系（表格和表達式）進行觀察、比較、分析、歸納。反比例函數(shù)是一個觀念性概念，建立概念的過程，也是讓學(xué)生形成觀念的過程，即在研究問題中分析出具有兩個變量乘積一定的規(guī)律時，就能夠有建立反比例函數(shù)模型的意識和觀念，并借此解決實際問題。
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011 年版）》對反比例函數(shù)概念的要求是：“結(jié)合具體情境體會反比例函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)的表達式”.這一要求與概念內(nèi)涵解析的結(jié)果具有一致性：反比例函數(shù)的意義即概念的本質(zhì)，包括表達式和變化規(guī)律；要求在“具體情境中體會”就要有抽象本質(zhì)、建立模型的過程，確定反比例函數(shù)的表達式則是在理解概念基礎(chǔ)上的技能。基于上述分析，可以確定反比例函數(shù)概念的教學(xué)目標是：經(jīng)歷從現(xiàn)實情境中抽象反比例函數(shù)概念的過程，體會反比例函數(shù)所描述的變化規(guī)律，能說出反比例函數(shù)的定義并能確定其表達式；在抽象反比例函數(shù)概念的過程中，發(fā)展符號意識、推理能力和抽象思維，體會數(shù)學(xué)建模的必要性。反比例函數(shù)概念教學(xué)的主干思路是提供問題情境，讓學(xué)生用表達式和表格兩種形式表示其中的變量關(guān)系---對兩種形式表示的變量關(guān)系進行觀察、比較、分析，歸納其共同特征，抽象概念的本質(zhì)（表達式和乘積一定的變化規(guī)律），得到其形式化定義，明晰概念---進行概念辨析、舉出概念的正例和反例---確定表達式。
反比例函數(shù)概念的教學(xué)策略是：設(shè)置三個貼近學(xué)生生源的問題情境，并讓學(xué)生分析這些問題情境。讓學(xué)生用表格表示問題情境中的變量關(guān)系，然后回答以下問題：
�。�1）兩個變量的關(guān)系是不是函數(shù)關(guān)系？
（2）當自變量均值變化時，因變量是否呈現(xiàn)均值變化的規(guī)律？因變量隨自變量的變化有什么規(guī)律？
（3）用表達式表示兩個變量的關(guān)系。之后，教師要幫助學(xué)生抽象概念的本質(zhì)屬性，引發(fā)學(xué)生思考：
（1）以上三個問題情境中，變量的變化規(guī)律有什么特征？
�。�2）它們的表達式在形式上有什么共同特征？
在這個過程中，學(xué)生在問題的引導(dǎo)下經(jīng)歷“問題情境 - 建立模型-解釋、應(yīng)用”的過程，發(fā)展抽象思維與推理能力，體會模型思想。
2.解析概念與其他概念的聯(lián)系。
解析概念與其他概念的聯(lián)系時，一是要分析概念所在的概念體系，明確地畫出概念體系結(jié)構(gòu)圖；二是要分析此概念與其他概念間的橫向聯(lián)系和縱向聯(lián)系及其研究方法之間的關(guān)系。這一分析過程，為設(shè)計教學(xué)策略提供重要的依據(jù)，尤其是在“引入”概念這個環(huán)節(jié)中，分析能夠讓學(xué)生體會研究新概念的必要性，并獲得研究思路。
例如，因式分解的概念與其他概念聯(lián)系解析如下：
橫向聯(lián)系：因式分解是將多項式化成整式的乘積形式，是研究分式的化簡、運算的工具，在分式的通分、約分中，常常需要把分子、分母中的多項式化成乘積形式，以便運用分式的基本性質(zhì)進行化簡。
縱向聯(lián)系：從小學(xué)階段的分解質(zhì)因數(shù)到初中階段的分解因式。小學(xué)學(xué)過的分解質(zhì)因數(shù)與初中的分解因式具有類似的作用，前者是為了研究分數(shù)的通分、約分，需要把一個整數(shù)化成幾個因數(shù)的乘積形式；而后者是為了研究分式的通分、約分，需要把一個整式化成積的形式，反映出從“數(shù)”到“式”的發(fā)展過程。
根據(jù)上述分析，在引入“因數(shù)分解”的概念時，可以采用從“數(shù)”到“式”的類比，指出引入“因式分解”的概念的必要性，促進概念的形成。
3.解析學(xué)生學(xué)習(xí)概念的難點。
教師要突破概念學(xué)習(xí)的難點解析學(xué)生學(xué)習(xí)概念的經(jīng)驗與困惑時，這個解析越具體、越有價值。具體的分析能夠“突破難點”具有很強的針對性，有利于促進目標的達成。
例如：學(xué)習(xí)反比例函數(shù)概念的經(jīng)驗與困惑分析。
經(jīng)驗：學(xué)生在學(xué)習(xí)“變量之間的關(guān)系”時，通過大量實例體會變量之間的關(guān)系，并會用表格、圖象、表達式表示變量間的關(guān)系；能理解用符號（表格、圖象、表達式）表示的變量關(guān)系，并借助這些符號研究變量變化的對應(yīng)關(guān)系和變化趨勢；通過一次函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，積累了探究一次函數(shù)概念時，既關(guān)注抽象表達式的共同特征，又注重用表格體會變量間均值變化的規(guī)律的活動經(jīng)驗，有助于抽象反比例函數(shù)的概念。
困惑：首先，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)表達式具有的共同特征，但不容易理解“兩個變量的乘積一定”的變化規(guī)律；其次，在抽象出函數(shù)概念本質(zhì)時，提供的現(xiàn)實情境往往會讓學(xué)生認為“一個變量增大而另一個變量減小”是反比例函數(shù)的本質(zhì)屬性，因此排除這一非本質(zhì)屬性是學(xué)生認識的一個難點�；谏鲜龇治鲈O(shè)計的教學(xué)策略是：
對第一個困惑，前文已給出具體的策略。即設(shè)計幾個問題情境，通過用表格表示變量關(guān)系，讓學(xué)生在觀察、分析中體會“乘積型”的變化規(guī)律，然后抽象表達式的共同特征，可以獲得概念本質(zhì)，這里用“表格”來表征問題情境中兩個變量的關(guān)系，最關(guān)鍵的策略。
對于學(xué)生認為“一個變量總隨著另一個變量增大而減小”是反比例函數(shù)本質(zhì)屬性的問題，可以給出一個y 隨 x 的增大的反比例函數(shù)如下表。
讓學(xué)生思考：以上變量 y 隨 x 的增大怎樣變化？這個例子可以讓學(xué)生體會：當 x 從 -5 到 -1 的不斷增大的過程中，y 也從4/5到 4 在不斷地增大，即比例中的 y并不是隨著 x 的增大而減小，其本質(zhì)是“x 與 y 的乘積不變”,這樣，學(xué)生就能排除“反比例函數(shù)是一個變量隨著另一個變量的增大而減小”這一非本質(zhì)屬性，獲得概念的本質(zhì)：兩個變量的乘積一定。
由此可見，在概念學(xué)習(xí)中，對學(xué)生困難的具體分析，是獲得突破難點的教學(xué)策略的重要依據(jù)。
教學(xué)策略設(shè)計與前三項分析有良好的針對性，概念形成方式的選擇也決定于前三項分析的結(jié)果。其中，第一項分析---概念本質(zhì)屬性和教育價值分分析，是PCK 內(nèi)涵分析的核心，這一分析決定了概念教學(xué)的出發(fā)點和落腳點，給出了概念教學(xué)的方向，基本決定了獲得概念的方式，也在很大程度上決定了概念教學(xué)的過程能否體現(xiàn)這個概念承載的學(xué)科素養(yǎng)的發(fā)展和知識技能的落實，對整節(jié)課的教學(xué)效果有著決定性的意義。第二項分析---概念的前后聯(lián)系的分析，能幫助教師體會引入概念的必要性，能讓教師看到概念結(jié)構(gòu)體系，從而設(shè)計幫助學(xué)生獲得概念體系的策略，對概念的理解鞏固有重要意義。第三項分析---學(xué)生學(xué)習(xí)概念的經(jīng)驗和困惑的分析，則能幫助教師有針對性地設(shè)計突破難點的教學(xué)策略，使得教學(xué)具有明顯的針對性，對提高課堂的有效性有不可低估的作用。
總之，在概念教學(xué)設(shè)計時，對數(shù)學(xué)概念進行深刻的PCK 內(nèi)涵解析，是提高概念教學(xué)的有效性，使學(xué)生在概念學(xué)習(xí)中能夠提高分析能力、發(fā)展學(xué)科素養(yǎng)的一個有效措施，值得我們進一步研究。
參考文獻：
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