基本不等式的訓(xùn)練題
基本不等式訓(xùn)練題
1．若xy＞0，則對(duì) xy＋yx說(shuō)法正確的是( )
A．有最大值－2 B．有最小值2
C．無(wú)最大值和最小值 D．無(wú)法確定
答案：B
2．設(shè)x，y滿足x＋y＝40且x，y都是正整數(shù)，則xy的最大值是( )
A．400 B．100
C．40 D．20
答案：A
3．已知x≥2，則當(dāng)x＝____時(shí)，x＋4x有最小值____．
答案：2 4
4．已知f(x)＝12x＋4x.
(1)當(dāng)x＞0時(shí)，求f(x)的最小值；
(2)當(dāng)x＜0 時(shí)，求f(x)的最大值．
解：(1)∵x＞0，∴12x，4x＞0.
∴12x＋4x≥212x4x＝83.
當(dāng)且僅當(dāng)12x＝4x，即x＝3時(shí)取最小值83，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)的最小值為83.
(2)∵x＜0，∴－x＞0.
則－f(x)＝12－x＋(－4x)≥212－x－4x＝83，
當(dāng)且僅當(dāng)12－x＝－4x時(shí)，即x＝－3時(shí)取等號(hào)．
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)的最大值為－83.
一、選擇題
1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是( )
A．x＋12x B．x2－1＋1x2－1
C．2x＋2－x D．x(1－x)
答案：C
2．函數(shù)y＝3x2＋6x2＋1的最小值是( )
A．32－3 B．－3
C．62 D．62－3
解析：選D.y＝3(x2＋2x2＋1)＝3(x2＋1＋2x2＋1－1)≥3(22－1)＝62－3.
3．已知m、n∈R，mn＝100，則m2＋n2的最小值是( )
A．200 B．100
C．50 D．20
解析：選A.m2＋n2≥2mn＝200 高中英語(yǔ)，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時(shí)等號(hào)成立．
4．給出下面四個(gè)推導(dǎo)過(guò)程：
�、佟遖，b∈(0，＋∞)，∴ba＋ab≥2baab＝2；
�、凇選，y∈(0，＋∞)，∴l(xiāng)gx＋lgy≥2lgxlgy；
�、邸遖∈R，a≠0，∴4a＋a ≥24aa＝4；
�、堋選，y∈R，，xy＜0，∴xy＋yx＝－[(－xy)＋(－yx)]≤－2－xy－yx＝－2.
其中正確的推導(dǎo)過(guò)程為( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
解析：選D.從基本不等式成立的條件考慮．
�、佟遖，b∈(0，＋∞)，∴ba，ab∈(0，＋∞)，符合基本不等式的條件，故①的推導(dǎo)過(guò)程正確；
②雖然x，y∈(0，＋∞)，但當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，lgx是負(fù)數(shù)，y∈(0,1)時(shí)，lgy是負(fù)數(shù)，∴②的推導(dǎo)過(guò)程是錯(cuò)誤的；
�、邸遖∈R，不符合基本不等式的條件，
∴4a＋a≥24aa＝4是錯(cuò)誤的；
�、苡蓌y＜0得xy，yx均為負(fù)數(shù)，但在推導(dǎo)過(guò)程中將全體xy＋yx提出負(fù)號(hào)后，(－xy)均變?yōu)檎龜?shù)，符合基本不等式的條件，故④正確．
5．已知a＞0，b＞0，則1a＋1b＋2ab的最小值是( )
A．2 B．22
C．4 D．5
解析：選C.∵1a＋1b＋2ab≥2ab＋2ab≥22×2＝4.當(dāng)且僅當(dāng)a＝bab＝1時(shí)，等號(hào)成立，即a＝b＝1時(shí)，不等式取得最小值4.
6．已知x、y均為正數(shù)，xy＝8x＋2y，則xy有( )
A．最大值64 B．最大值164
C．最小值64 D．最小值164
解析：選C.∵x、y均為正數(shù)，
∴xy＝8x＋2y≥28x2y＝8xy，
當(dāng)且僅當(dāng)8x＝2y時(shí)等號(hào)成立．
∴xy≥64.
二、填空題
7．函數(shù)y＝x＋1x＋1(x≥0)的最小值為_(kāi)_______．
答案：1
8．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，則xy有最________值，其值為_(kāi)_______．
解析：1＝x＋4y≥2x4y＝4xy，∴xy≤116.
答案：大 116
9．(2010年山東卷)已知x，y∈R＋，且滿足x3＋y4＝1，則xy的最大值為_(kāi)_______．
解析：∵x＞0，y＞0且1＝x3＋y4≥2xy12，∴xy≤3.
當(dāng)且僅當(dāng)x3＝y(tǒng)4時(shí)取等號(hào)．
答案：3
三、解答題
10．(1)設(shè)x＞－1，求函數(shù)y＝x＋4x＋1＋6的最小值；
(2)求函數(shù)y＝x2＋8x－1(x＞1)的最值．
解：(1)∵x＞－1，∴x＋1＞0.
∴y＝x＋4x＋1＋6＝x＋1＋4x＋1＋5
≥2 x＋14x＋1＋5＝9，
當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝4x＋1，即x＝1時(shí)，取等號(hào)．
∴x＝1時(shí)，函數(shù)的最小值是9.
(2)y＝x2＋8x－1＝x2－1＋9x－1＝(x＋1)＋9x－1
＝(x－1)＋9x－1＋2.∵x＞1，∴x－1＞0.
∴(x－1)＋9x－1＋2≥2x－19x－1＋2＝8.
當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝9x－1，即x＝4時(shí)等號(hào)成立，
∴y有最小值8.
11．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求證：(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8.
證明：∵a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1，
∴1a－1＝1－aa＝b＋ca＝ba＋ca≥2bca，
同理1b－1≥2acb，1c－1≥2abc，
以上三個(gè)不等式兩邊分別相乘得
(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8.
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取等號(hào)．
12．某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的二級(jí)污水處理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造單價(jià)為每米400元，中間一條隔壁建造單價(jià)為每米100元，池底建造單價(jià)每平方米60元(池壁忽略不計(jì))．
問(wèn)：污水處理池的長(zhǎng)設(shè)計(jì)為多少米時(shí)可使總價(jià)最低．
解：設(shè)污水處理池的長(zhǎng)為x米，則寬為200x米．
總造價(jià)f(x)＝400×(2x＋2×200x)＋100×200x＋60×200
�。�800×(x＋225x)＋12000
≥1600x225x＋12000
＝36000(元)
當(dāng)且僅當(dāng)x＝225x(x＞0)，
即x＝15時(shí)等號(hào)成立．
女主人
四位女士在玩一種紙牌游戲，其規(guī)則是：（a）在每一圈中，某方首先出一張牌，其余各方就要按這張先手牌的花色出牌（如果手中沒(méi)有這種花色，可以出任何其他花色的牌）；（b）每一圈的獲勝者即取得下一圈的首先出牌權(quán)�，F(xiàn)在她們已經(jīng)打了十圈，還要打三圈。
�。�1）在第十一圈，阿爾瑪首先出一張梅花，貝絲出方塊，克利奧出紅心，黛娜出黑桃，但后三人的這個(gè)先后順序不一定是她們的出牌順序。
（2）女主人在第十二圈獲勝，并且在第十三圈首先出了一張紅心。
�。�3）在這最后三圈中，首先出牌的女士各不相同。
�。�4）在這最后三圈的每一圈中，四種花色都有人打出，而且獲勝者憑的都是一張“王牌”。（王牌是某一種花色中的任何一張牌：（a）在手中沒(méi)有先手牌花色的情況下，可以出王牌――這樣，一張王牌將擊敗其他三種花色中的任何牌；（b）與其他花色的牌一樣，王牌可以作為先手牌打出。）
�。�5）在這最后三圈中，獲勝者各不相同。
�。�6）女主人的搭檔手中是三張紅色的牌。
這四位女士中，誰(shuí)是女主人？
�。ㄌ崾荆耗姆N花色是王牌？誰(shuí)在第二十圈出了王牌？）
答 案
梅花不會(huì)是王牌，否則，根據(jù)（l）和（4），阿爾瑪在最后三圈中將不止一次地?fù)碛惺紫瘸雠茩?quán)，而這與{（3）在這最后三圈中，首先出牌的女士各不相同。}矛盾。紅心不會(huì)是王牌，否則，根據(jù)（2）和（4），女主人在最后三圈中將不止一次地獲勝，而這與{（5）在這最后三圈中，獲勝者各不相同。}矛盾。
根據(jù){（1）在第十一圈，阿爾瑪首先出一張梅花，貝絲出方塊，克利奧出紅心，黛娜出黑桃，但后三人的這個(gè)先后順序不一定是她們的出牌順序。}，沒(méi)有人跟著阿爾瑪出梅花，這表明其他人都沒(méi)有梅花；可是根據(jù){（4）在這最后三圈的每一圈中，四種花色都有人打出，而且獲勝者憑的都是一張“王牌”。（王牌是某一種花色中的任何一張牌：（a）在手中沒(méi)有先手牌花色的情況下，可以出王牌――這樣，一張王牌將擊敗其他三種花色中的任何牌；（b）與其他花色的牌一樣，王牌可以作為先手牌打出。）}，每一圈中都有梅花出現(xiàn)，從而打最后三圈時(shí)阿爾瑪手中必定是三張梅花。由于最后三圈都是憑王牌獲勝，而且梅花不是王牌，所以阿爾瑪沒(méi)有一圈獲勝。根據(jù)（5），其他三人各勝一圈，所以其他三人各有一張王牌。
黑桃不會(huì)是王牌，否則，沒(méi)有一個(gè)人能有三張紅牌，而這與{（6）女主人的搭檔手中是三張紅色的牌。}矛盾。
因此方塊是王牌。
于是根據(jù)（1），貝絲在第十一圈獲勝，并且取得了第十二圈的首先出牌權(quán)。
根據(jù){（2）女主人在第十二圈獲勝，并且在第十三圈首先出了一張紅心。}，女主人在第十二圈獲勝（用王牌方塊），并且接著在第十三圈首先出了紅心。因此，根據(jù)（4），紅心不是第十二圈的先手牌花色。
方塊不能是第十二圈的先手牌花色，否則貝絲將不止一次地獲勝，而這與（5）矛盾（貝絲已經(jīng)在第十一圈獲勝，根據(jù)（4），如果在第十二圈她首先出方塊，那她還要在這一圈獲勝）。
梅花不能是第十二圈的先手牌花色，因?yàn)樗械拿坊ǘ荚诎柆數(shù)氖种?高中歷史，而根據(jù)（3），在最后三圈中阿爾瑪首先出牌只有一次（根據(jù)（l），是在第十一圈）。
因此，黑桃是第十二圈的先手牌花色。這張牌是貝絲出的。根據(jù)以上所知的每位女士所出花色的情況，可以列成下表：
阿爾瑪
貝絲
克利奧
黛娜
第十一圈：
梅花（先出）
方塊（獲勝）
紅心
黑桃
第十二圈：
梅花
黑桃（先出）
第十三圈：
梅花
既然貝絲在第十二圈首先出的是黑桃，那么根據(jù)（5），在這一圈出方塊（王牌）的不是克利奧就是黛娜。根據(jù)（2），如果是克利奧出了方塊，則她一定是女主人。但是根據(jù)（6），女主人的搭檔有三張紅牌，而除克利奧之外，其他人都不可能是女主人的搭擋(阿爾瑪手中全是梅花，貝絲在第十二圈首先出了黑桃，黛那在第十一圈出了黑桃，說(shuō)明這三人在最后三圈時(shí)手中都有黑牌。)因此，在第十二圈貝絲首先出了黑桃之后，克利奧沒(méi)有出方塊（王牌）。
于是，在第十二圈貝絲首先出了黑桃之后，一定是黛娜出了方塊（王牌）。從而根據(jù)（2），女主人一定是黛娜。
分析可以繼續(xù)進(jìn)行下去。根據(jù)（2），黛娜在第十三圈首先出了紅心。于是上表可補(bǔ)充成為：
阿爾瑪
貝絲
克利奧
黛娜
第十一圈：
梅花（先出）
方塊（獲勝）
紅心
黑桃
第十二圈：
梅花
黑桃（先出）
方塊（獲勝）
第十三圈：
梅花
紅心（先出）
于是根據(jù)（4），克利奧在第十二圈出了紅心。根據(jù)（5），克利奧在第十三圈出了方塊（王牌）。再根據(jù)（4），貝絲在第十三圈出了黑桃。完整的情況如下表：
阿爾瑪
貝絲
克利奧
黛娜
第十一圈：
梅花（先出）
方塊（獲勝）
紅心
黑桃
第十二圈：
梅花
黑桃（先出）
紅心
方塊（獲勝）
第十三圈：
梅花
黑桃
方塊（獲勝）
紅心（先出）
近年各高校自主招生考試數(shù)學(xué)試題解析
自從2014年復(fù)旦大學(xué)、上海交通大學(xué)等全國(guó)重點(diǎn)院校招生改革“破冰”以來(lái)，各校“深化自主選拔改革試驗(yàn)”招生方案不斷出臺(tái)。全國(guó)院校數(shù)目及招生規(guī)模也在增加，引起了教育界和廣大考生、家長(zhǎng)和中學(xué)教師對(duì)命題的高度關(guān)注。以下就近兩年數(shù)學(xué)考試特點(diǎn)進(jìn)行剖析。
試卷特點(diǎn)分析
1.基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能仍是考查重點(diǎn)
基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能稱之為“雙基”。大家知道，能力與“雙基”有著辯證關(guān)系。沒(méi)有扎實(shí)的“雙基”，能力培養(yǎng)就成了無(wú)源之水，無(wú)本之木。所以，“雙基”訓(xùn)練是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)之一。
綜觀復(fù)旦、交大、清華等高校近幾年自主招生的數(shù)學(xué)題目，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)有60%至70%的題目仍是比較基礎(chǔ)的。例如近三年來(lái)上海交大卷的填空題都是10題（50分），占試卷的一半，這些填空題比較常規(guī)，和難度相當(dāng)。復(fù)旦卷有30題左右的選擇題，也多半是學(xué)生平時(shí)訓(xùn)練過(guò)的一些比較熟悉的題型和知識(shí)點(diǎn)。
2.考查知識(shí)點(diǎn)的覆蓋面廣，但側(cè)重點(diǎn)有所不同
復(fù)旦、交大等高校近幾年自主招生的試題，知識(shí)點(diǎn)的覆蓋面還是很廣的，基本上涉及到高中數(shù)學(xué)大綱的所有內(nèi)容。例如，函數(shù)、集合、數(shù)列、復(fù)數(shù)、三角、排列、組合、概率統(tǒng)計(jì)、向量、立體幾何、解析幾何等。
但高校自主招生試題命題是由大學(xué)完成的，更多會(huì)考慮到高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的銜接，所以提請(qǐng)大家注意幾個(gè)方面：
函數(shù)和方程問(wèn)題、排列組合和概率統(tǒng)計(jì)等 粗略統(tǒng)計(jì)，2014年復(fù)旦卷中與函數(shù)和方程有關(guān)的試題多達(dá)10題，占31%。
復(fù)數(shù) 復(fù)數(shù)通常在高考中要求比較低，占的比分也較少，但在復(fù)旦卷中仍占有一席之地（2014年及2014年分別有2題和3題）。
矩陣和行列式 這些知識(shí)雖然目前還未納入高考范圍，但由于是高等數(shù)學(xué)中非常重要的內(nèi)容，近幾年在復(fù)旦卷中每年都會(huì)出現(xiàn)。
以上各點(diǎn)，望能引起廣大師生的注意。
當(dāng)然由于上述同樣的原因，盡管高考中解析幾何是一個(gè)比較重要的內(nèi)容，但在復(fù)旦卷中所占比例卻較少，例如，2014年和2014年只有2題和1題。
3.注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)和其他科目的整合，考查學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力
2014年交大冬令營(yíng)數(shù)學(xué)試卷中有這樣一個(gè)問(wèn)題：
通信工程中常用n元數(shù)組（a1，a2，a3，……an）表示信息，其中ai=0或1，i、n∈N。設(shè)u=（a1，a2，a3，……an），v=（b1，b2，b3，……bn），d（u，v）表示u和v中相對(duì)應(yīng)的元素不同的個(gè)數(shù)。
�。�1）u=（0,0，0,0，0）問(wèn)存在多少個(gè)5元數(shù)組v使得d（u，v）=1
（2）u=（1,1，1,1，1）問(wèn)存在多少個(gè)5元數(shù)組v使得d（u，v）=3
�。�3）令w=（01，2014,02……0），u=（a1，a2，a3……an） 高三，v=（b1>，b2，b3……bn）
求證：d（u，w）＋d（v，w）≥d（u,v）
此問(wèn)題與計(jì)算機(jī)中的“二進(jìn)制”有關(guān)。前兩問(wèn)是排列組合計(jì)數(shù)問(wèn)題，尤其是第三問(wèn)有一定的挑戰(zhàn)性�？砂裠（u,v）轉(zhuǎn)化為一個(gè)絕對(duì)值問(wèn)題
4.突出對(duì)思維能力和解題技巧的考查
近幾年的自主招生試卷中對(duì)數(shù)學(xué)思想方法和思維策略的考查達(dá)到了相當(dāng)高的層次，有時(shí)甚至達(dá)到相當(dāng)于數(shù)學(xué)競(jìng)賽的難度。
例如，2014年交大冬令營(yíng)卷中有這樣一個(gè)問(wèn)題：
設(shè)f(x)=(1+a)x4+x3-(3a+2)x2-4a，試證明對(duì)任意實(shí)數(shù)a：
�。�1）方程f(x)=0總有相同實(shí)根
�。�2）存在x0，恒有f(x0)≠0
這兩問(wèn)解決的策略和方法是：換一個(gè)角度看成一個(gè)關(guān)于a的一次函數(shù)。
應(yīng)試和準(zhǔn)備策略
針對(duì)上述自主招生試題特點(diǎn)，學(xué)生復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：
1.注意知識(shí)點(diǎn)的全面
數(shù)學(xué)題目被猜中的可能性很小，一般知識(shí)點(diǎn)都靠平時(shí)積累，剩下的就是個(gè)人的現(xiàn)場(chǎng)發(fā)揮。數(shù)學(xué)還是要靠平時(shí)扎扎實(shí)實(shí)的學(xué)習(xí)才能考出好成績(jī)，因此，學(xué)生平時(shí)必須把基礎(chǔ)知識(shí)打扎實(shí)。
另外，對(duì)上面提及的一些平時(shí)不太注意的小章節(jié)或高考不一定考的問(wèn)題，如矩陣、行列式等也不可忽視。
2.適當(dāng)做些近幾年的自主招生的
俗話說(shuō)：知己知彼，百戰(zhàn)百勝。同學(xué)們可適當(dāng)訓(xùn)練近幾年自己所考的高校所出的自主招生試題，熟悉一下題型和套路。
3.注重知識(shí)的延伸和加深
復(fù)旦、交大、清華等全國(guó)重點(diǎn)院校自主招生試題比稍難，比數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題又稍簡(jiǎn)單，有些問(wèn)題稍有深度，這就要求考生平時(shí)注意知識(shí)點(diǎn)的延伸和加深。例如2014年復(fù)旦卷的第77題：
四十個(gè)學(xué)生參加數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽。他們必須解決一個(gè)代數(shù)學(xué)問(wèn)題、一個(gè)幾何學(xué)問(wèn)題以及一個(gè)三角學(xué)問(wèn)題。具體情況如下表所述。
其中有三位學(xué)生一個(gè)問(wèn)題都沒(méi)有解決。問(wèn)：三個(gè)問(wèn)題都解決的學(xué)生數(shù)是( )。
A.5 B.6 C.7 D.8
此題若是用畫(huà)圖、文氏圖等方法雖能解決，但花費(fèi)時(shí)間較多。若是知題三個(gè)集合的容斥原理,A∪B∪C=A+B+C-(A∩B+A∩C+B∩C)+A∩B∩C，只要代入公式，馬上就可解決。
又如第88題：
設(shè)x1,x2,x3是方程x3+x+2=0
此題若是知題三次方程的韋達(dá)定理，則也容易解決。而三次方程和韋達(dá)定理雖然可推導(dǎo)出來(lái)，但平時(shí)同學(xué)們對(duì)二次方程的韋達(dá)定理很熟悉，對(duì)三次方程則比較陌生。
又比如，柯西不等式可解決許多不等式問(wèn)題，但由于目前上海高考不考，所以很多高中生對(duì)此不熟悉。
總之，同學(xué)們?nèi)羰嵌嘧⒁庖恍┲R(shí)點(diǎn)的延伸和加深，考試時(shí)必定會(huì)有一種居高臨下的感覺(jué)。
簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)的方法
打破數(shù)學(xué)完全是一門(mén)抽象學(xué)科的觀念，數(shù)學(xué)可以變得有意思且討人喜歡。
心算
我清楚地記得我上小學(xué)的情況。那時(shí)候，我最害怕的事情莫過(guò)于背九九乘法表了。我背錯(cuò)了9×7的答案，作為懲罰，我的數(shù)學(xué)老師勒令我站在全班同學(xué)面前，把乘法表背九遍。更讓我感到羞
辱的是，我每說(shuō)出一個(gè)詞，老師就會(huì)拿著尺子在我大腿后打一下——雖然打得不重，但仍是有感覺(jué)的，這僅僅是為了加深我對(duì)乘法表的印象�！�9……啪，乘以1……啪，等于9……啪……”
謝天謝地，現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教學(xué)已經(jīng)大大改進(jìn)了。現(xiàn)在更強(qiáng)調(diào)的是解決問(wèn)題的方式，實(shí)際的研究調(diào)查，以及運(yùn)算的方法。這樣做的目的是盡量使數(shù)學(xué)變得有意思且討人喜愛(ài)，從而打破那種認(rèn)為數(shù)學(xué)完全是一門(mén)抽象學(xué)科的觀念。
但是，學(xué)生們?nèi)匀徊豢杀苊獾匦枰獙W(xué)會(huì)不借助計(jì)算器而進(jìn)行加、減、乘、除。
1994年的時(shí)候，我參加了一個(gè)電視節(jié)目。主持人請(qǐng)我在現(xiàn)場(chǎng)觀眾面前進(jìn)行心算，我欣然領(lǐng)命，結(jié)果算得比計(jì)算器還快，隨后他又請(qǐng)我向大家揭開(kāi)這個(gè)謎底。但是電視上的短短幾分鐘時(shí)間，根本不足以充分解釋我所使用的方法，所以許多觀眾仍然對(duì)此迷惑不解，沒(méi)有人能夠領(lǐng)會(huì)。
其實(shí)，如果你知道一些簡(jiǎn)算方法，進(jìn)行這樣的心算非常容易。我們先來(lái)舉個(gè)加法的例子。
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510
+ 122
我以前所學(xué)的把幾個(gè)數(shù)相加的方法是這樣：從右到左把每一豎列相加，同時(shí)注意滿十向前進(jìn)位。但是對(duì)于心算來(lái)說(shuō)，這樣的方法便有點(diǎn)困難，甚至是不合理的，因?yàn)樽詈蟮拇鸢甘菑淖蟮接易x出來(lái)的。比如1898，我們不會(huì)說(shuō)“八，九十，八百，一千”。既然如此，為什么計(jì)算要采取相反的順序呢？
試試從左邊開(kāi)始進(jìn)行加法心算。當(dāng)你得到相加的總和時(shí)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)這樣的方法更自然：“一千八百……一千八百九十……一千八百九十八！”
我剛才選擇的是比較小的數(shù)字，不須進(jìn)位。不過(guò)即使需要進(jìn)位，我們?cè)谙嗉訒r(shí)也能夠很容易地對(duì)總和進(jìn)行調(diào)整。
你來(lái)試試下面這個(gè)運(yùn)算：
412
131
342
212
+ 731
這一次，當(dāng)你從左到右依次相加時(shí)，需要把百位數(shù)的.和從1700調(diào)整為1800。（答案：1828）
經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)木毩?xí)，你應(yīng)該能夠在頭腦里映射出每豎列數(shù)字的和，這樣你便可以進(jìn)行更大數(shù)字的加法運(yùn)算了。
在我的演示中，我能夠蒙上眼睛，心算10個(gè)四位數(shù)相加。下面我告訴你我是怎樣做的，如果你學(xué)會(huì)了多米尼克體系，你也能夠做到。
我的小花招
第一步，準(zhǔn)備四處場(chǎng)景，用來(lái)安置4個(gè)二位數(shù)，每個(gè)二位數(shù)用多米尼克體系人物進(jìn)行代替。
看看你的屋子外邊。把屋頂?shù)淖箜敳孔鳛榈谝惶巿?chǎng)景。斜對(duì)著的右邊，一個(gè)人靠在窗戶外。再靠右一點(diǎn)，第三個(gè)人站在梯子上。最后，再靠右，第四個(gè)人站在地上。這4個(gè)人的位置大致形成一條從左到右、由高到低的對(duì)角線。
現(xiàn)在你已經(jīng)為加法心算作好準(zhǔn)備了。接下來(lái)你會(huì)被蒙上眼睛。請(qǐng)一個(gè)人寫(xiě)下10個(gè)一位數(shù)，排成一個(gè)豎列，同時(shí)要求他一邊寫(xiě)一邊大聲地讀出來(lái)。當(dāng)你聽(tīng)到這些數(shù)字，便把它們加起來(lái)。得到最后的總和后，轉(zhuǎn)譯為多米尼克人物。把這個(gè)人物安置到屋子外相應(yīng)的地點(diǎn)，記住這個(gè)場(chǎng)景。接著，請(qǐng)觀眾繼續(xù)第二豎列的數(shù)字。
比如：
7364
4201
3871
6728
2609
8735
1312
5236
9043
+ 7492
第一豎列的和：52=EB 俄妮卜萊登
（Enid Blyton）
第二豎列的和：42=DB 大衛(wèi)鮑伊
�。―avid Bowie）
第三豎列的和：35=CE 克林特伊斯特伍德
�。–lint Eastwood）
第四豎列的和：41=DA 大衛(wèi)艾登堡
�。―avid Attenborough）
52是第一豎列數(shù)字的和。將數(shù)字轉(zhuǎn)譯為人物，我們得到俄妮卜萊登（Enid Blyton，EB=52）。想像俄妮卜萊登站在房子的屋頂上。這個(gè)怪異的情景會(huì)讓你牢牢記住數(shù)字52。接著往右進(jìn)行第二豎列。
當(dāng)每個(gè)數(shù)字被讀出來(lái)的時(shí)候，將它們挨個(gè)相加，得到第二個(gè)和：42。這次是大衛(wèi)鮑伊（David Bowie，DB=42）靠在窗外。你可以同時(shí)對(duì)情景進(jìn)行夸張，以便加深記憶。
再緊接著的兩豎列數(shù)字的和是35和41，分別代表克林特伊斯特伍德（Clint Eastwood，CE=35）站在梯子上，大衛(wèi)艾登堡（David Attenborough，DA=41）在地上扶持著梯子。這樣，4列數(shù)字的和就被簡(jiǎn)化為4幅簡(jiǎn)單易記的場(chǎng)景。
現(xiàn)在，你可以告訴你的觀眾你開(kāi)始進(jìn)行心算。迅速地回想那些場(chǎng)景，但同時(shí)告訴觀眾你正在快速瀏覽所有的數(shù)字，以此來(lái)迷惑他們。
52
42
35
+ 41
56591
最后，你只要把這四個(gè)數(shù)按照相應(yīng)的位數(shù)對(duì)齊，再進(jìn)行簡(jiǎn)單的加法運(yùn)算便可以了。當(dāng)你緩緩地大聲說(shuō)出最后的總和時(shí)，所有的人都會(huì)以為你有照相存儲(chǔ)式的記憶，或者你根本就是個(gè)活計(jì)算器！
但是不管怎樣，你最好能夠運(yùn)用一些加法技巧，它們既有效又可靠，能夠大大降低出錯(cuò)的幾率。
可以試著把某些數(shù)字“化整”以后再相加。比如：
59+85=144
如果你先把59變?yōu)?0，跟85相加后，再?gòu)闹袦p去1，計(jì)算就會(huì)容易得多。
60+85-1=144
運(yùn)用“化整”的方法來(lái)練習(xí)下面的算式：
99+76=？
68+52=？
81+55=？
198+66=？
151+75=？
349+60=？
乘法
我猜想，你所學(xué)的乘法運(yùn)算肯定跟我當(dāng)時(shí)學(xué)的是一樣的步驟：
78
×67
546
468
5226
這種傳統(tǒng)的方法當(dāng)然是很可靠的，但是如果要用它來(lái)進(jìn)行心算，那就太困難了，因?yàn)槠渲邪ㄈ舾瑟?dú)立的步驟:先進(jìn)行兩次乘法，隨后再將得到的兩個(gè)乘積相加。
我們可以采用一個(gè)更快捷的方法，使這些步驟同時(shí)結(jié)合起來(lái)：
36
× 41
1476
這是怎么算出來(lái)的呢？
1. 先從個(gè)位開(kāi)始：6×1=6
2. 然后交叉相乘：3×1，6×4
3. 將2的兩個(gè)結(jié)果相加：3+24=27
4. 寫(xiě)下7
5. 最后將十位相乘（3×4），再加上3中剩下的數(shù)字2，得到14
這些說(shuō)明看上去很復(fù)雜，但經(jīng)過(guò)練習(xí)，它實(shí)際上是很容易使用的，甚至對(duì)于三位數(shù)或四位數(shù)都適用：
241
× 357
86037
1. 7×1= 7
2.（4×7）+（1×5）= 33
3.（2×7）+（1×3）+（4×5）= 37
4.（2×5）+（4×3）= 22
5. 2×3= 6
86037
在算術(shù)中，你應(yīng)該嘗試去發(fā)現(xiàn)規(guī)律或模式。注意下面這個(gè)例子，兩個(gè)數(shù)字的十位數(shù)相同。
17
× 14
如果是這種情況，計(jì)算更簡(jiǎn)便。
1. 把4提出來(lái)，跟17相加，得到21
2. 將這個(gè)數(shù)乘以10；換句話，就是在21后添個(gè)0，得到210
3. 把7×4的積28，跟210相加，得到答案238
28
× 23
1. 類(lèi)似地，把3跟28相加，得到31
2. 注意這次是將31乘以20；換句話，將31乘以2再添個(gè)0，得到620
3. 最后3×8=24，加上620，答案是644
現(xiàn)在你來(lái)試試下面的乘法算式，不要用筆和紙：
16
× 12
26
× 24
21
× 29
32
× 31
如果你覺(jué)得你非常擅長(zhǎng)心算，為什么不試試去挑戰(zhàn)莎昆塔拉戴維（Shakuntala Devi）女士的世界記錄？1980年，在倫敦的帝國(guó)學(xué)院，這位印度數(shù)學(xué)家進(jìn)行了下面這兩個(gè)13位數(shù)的乘法運(yùn)算，未借助任何工具，用的僅僅是大腦；而這兩個(gè)數(shù)字是由學(xué)院計(jì)算機(jī)系隨意抽取的。
7 686 369 774 870
× 2 465 099 745 779
她算出了正確的答案18 947 668 177 995 426 462 773 730，所用時(shí)間僅為28秒！
最后的小花招
最后我來(lái)教你一個(gè)容易表演的數(shù)學(xué)小花招。
讓某個(gè)人隨便寫(xiě)下一個(gè)五位數(shù)，假設(shè)它是45055。然后告訴他接著該輪到你在下面寫(xiě)上另一個(gè)數(shù)字。不過(guò)你要寫(xiě)的并不是一個(gè)隨意的數(shù)字，你必須保證你寫(xiě)的這個(gè)數(shù)字與上面第一個(gè)數(shù)字相加所得到的數(shù)每一位都是9，這樣你該寫(xiě)的數(shù)字便是54944。
把筆交回給對(duì)方，重復(fù)這個(gè)過(guò)程。如果他的下一個(gè)數(shù)字是21813，那么你的數(shù)字就是78186。當(dāng)他寫(xiě)下最后一個(gè)五位數(shù)時(shí)，你便能夠馬上得出最后的和。比如，如果他最后的數(shù)字是69683，那么此時(shí)你要做的便是在這個(gè)數(shù)字前面添上2，再?gòu)膫�(gè)位上減掉2。這樣，得到答案269681。
看看下面的算式，你應(yīng)該很容易地明白這個(gè)過(guò)程：
45055
54944
21813
78186
+ 69683
269681
這個(gè)花招絕對(duì)不會(huì)出錯(cuò)，而你的觀眾將會(huì)感到大惑不解�。ㄈ绻詈笠粋�(gè)數(shù)的個(gè)位恰好是0，那么再?gòu)氖簧蠝p去1；比如33360，最后得到233358。）
為什么會(huì)這樣呢?因?yàn)榍?個(gè)數(shù)相加的和總是199998 ——也就是比200000少2。
名師支招：高一新生學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)注意什么
古語(yǔ)云：授人以魚(yú)，只供一飯。授人以漁，則終身受用無(wú)窮。學(xué)知識(shí)，更要學(xué)方法 高中化學(xué)。清華網(wǎng)校的學(xué)習(xí)方法欄目由清華附中名師結(jié)合多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和附中優(yōu)秀學(xué)生學(xué)習(xí)心得組成，以幫助學(xué)生培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣為目的，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中能夠事半功倍。
數(shù)學(xué)是一個(gè)人的學(xué)習(xí)生涯中所占比重最大的學(xué)科，也是高考科目中最能夠拉開(kāi)分?jǐn)?shù)層次的學(xué)科，因此學(xué)好數(shù)學(xué)，無(wú)論是對(duì)高考，還是對(duì)以后學(xué)習(xí)工作都起著重要作用。那么高一新生在學(xué)習(xí)上剛剛踏入新階段，如何去除初中時(shí)養(yǎng)成的不適宜高中學(xué)習(xí)的習(xí)慣，又如何掌握正確的學(xué)習(xí)方法呢？我們應(yīng)注意以下三點(diǎn)：
(1)注意和初中數(shù)學(xué)知識(shí)的銜接。這是一個(gè)十分困難的問(wèn)題，初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)的差別非常大，從原本的實(shí)際思維轉(zhuǎn)入抽象思維，需要一個(gè)大幅度轉(zhuǎn)變。這就需要重新整理初中數(shù)學(xué)知識(shí)，形成良好的知識(shí)基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上，再根據(jù)高中知識(shí)特點(diǎn)，較快的吸收新的知識(shí)，形成新的知識(shí)結(jié)構(gòu)。
(2)認(rèn)真理解，反復(fù)推敲思考高中各知識(shí)點(diǎn)的涵義，各種表示方法。容易混淆的知識(shí)，仔細(xì)辨識(shí)、區(qū)別，達(dá)到熟練掌握，逐步建立與高中數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相適應(yīng)的理論本質(zhì)與思考方法，切忌急于求成。
(3)通過(guò)學(xué)習(xí)，要努力培養(yǎng)自己觀察，比較抽象，概括能力初步形成運(yùn)用知識(shí)準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)和能力；培養(yǎng)科學(xué)的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，為樹(shù)立辯證唯物主義科學(xué)的世界觀認(rèn)識(shí)世界打下基礎(chǔ)。
我們應(yīng)試時(shí)，時(shí)常發(fā)現(xiàn)厭試心理，有時(shí)會(huì)有些緊張，這是很正常的。但過(guò)分緊張也會(huì)導(dǎo)致考不好，所以平時(shí)應(yīng)把練習(xí)當(dāng)作考試，但考試時(shí)則平視為練習(xí)，心態(tài)好了，成績(jī)自己就上去了。
如何減少解題失誤，這是一個(gè)考高分的關(guān)鍵。失誤少了，分?jǐn)?shù)就會(huì)濺漲。這需要學(xué)生的仔細(xì)觀察與認(rèn)真閱讀題目，抓住題目重點(diǎn)、題心，并圍繞重點(diǎn)、題心考慮其他條件與答案。其次，考慮要周全，避免出現(xiàn)遺漏情況，各個(gè)方面都要考慮到，這需要平日思考事物的長(zhǎng)期積累。
考試考得不好，這是常遇到的問(wèn)題，心情沮喪是正常心理，但不能持久下去。要將答案聽(tīng)徹底，記下，并與自己的解題思路相比較，發(fā)現(xiàn)不同之處，或不要之處并記于心里，這樣對(duì)于下次考試則很有好處。
高二數(shù)學(xué)直線的傾斜角和斜率教學(xué)簡(jiǎn)案
教學(xué)目標(biāo)
(1)了解直線方程的概念.
(2)正確理解直線傾斜角和斜率概念 高二.理解每條直線的傾斜角是唯一的，但不是每條直線都存在斜率.
(3)理解公式的推導(dǎo)過(guò)程，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式.
(4)通過(guò)直線傾斜角概念的引入和直線傾斜角與斜率關(guān)系的揭示，培養(yǎng)觀察、探索，運(yùn)用語(yǔ)言表達(dá)，交流與評(píng)價(jià).
(5)通過(guò)斜率概念的建立和斜率公式的推導(dǎo)，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生樹(shù)立辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和求簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)精神.
教學(xué)建議
1.教材分析
(1)結(jié)構(gòu)
本節(jié)內(nèi)容首先根據(jù)一次函數(shù)與其圖像——直線的關(guān)系導(dǎo)出直線方程的概念;其次為進(jìn)一步研究直線，建立了直線傾斜角的概念，進(jìn)而建立直線斜率的概念，從而實(shí)現(xiàn)了直線的方向或者說(shuō)直線的傾斜角這一直線的幾何屬性向直線的斜率這一代數(shù)屬性的轉(zhuǎn)變;最后推導(dǎo)出經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式.這些充分體現(xiàn)了解析幾何的思想.
(2)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
�、俦竟�(jié)的重點(diǎn)是斜率的概念和斜率公式.直線的斜率是后繼內(nèi)容展開(kāi)的主線，無(wú)論是建立直線的方程，還是研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系，以及討論直線與二次曲線的位置關(guān)系，直線的斜率都發(fā)揮著重要作用.因此，正確理解斜率概念，熟練掌握斜率公式是學(xué)好這一章的關(guān)鍵.
�、诒竟�(jié)的難點(diǎn)是對(duì)斜率概念的理解.學(xué)生對(duì)于用直線的傾斜角來(lái)刻畫(huà)直線的方向并不難接受，但是，為什么要定義直線的斜率，為什么把斜率定義為傾斜角的正切兩個(gè)問(wèn)題卻并不容易接受.
2.教法建議
(1)本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)有三大項(xiàng)：傾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式.學(xué)生也對(duì)應(yīng)三個(gè)高潮：傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式如何建立.相應(yīng)的教學(xué)過(guò)程也有三個(gè)階段
�、僭诮虒W(xué)中首先是創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，然后通過(guò)討論明確用角來(lái)刻畫(huà)直線的方向，如何定義這個(gè)角呢，學(xué)生在討論中逐漸明確傾斜角的概念.
�、诒竟�(jié)的難點(diǎn)是對(duì)斜率概念的理解.學(xué)生認(rèn)為傾斜角就可以刻畫(huà)直線的方向，而且每一條直線的傾斜角是唯一確定的，而斜率卻不這樣.學(xué)生還會(huì)認(rèn)為用弧度制表示傾斜角不是一樣可以數(shù)量化嗎.再有，為什么要用傾斜角的正切定義斜率，而不用正弦、余弦或余切哪?要解決這些問(wèn)題，就要求幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到在直線的方程中體現(xiàn)的不是直線的傾斜角，而是傾斜角的正切，即直線方程(一次函數(shù) y=kx+b的形式，下同)中x的系數(shù)恰好就是直線傾斜角的正切.為了便于學(xué)生更好的理解直線斜率的概念，可以借助幾何畫(huà)板設(shè)計(jì)： (1) α變化→直線變化→ y=kx中的 x系數(shù) y變化 (同時(shí)注意 tga的變化). (2) y=kx中的 x系數(shù) y變化→直線變化→α變化 (同時(shí)注意 tga的變化). 運(yùn)用上述正反兩種變化的動(dòng)態(tài)演示充分揭示直線方程中 x系數(shù)與傾斜角正切的內(nèi)在關(guān)系，這對(duì)幫助學(xué)生理解斜率概念是極有好處的.
�、墼谶M(jìn)行過(guò)兩點(diǎn)的斜率公式推導(dǎo)的教學(xué)中要注意與前后知識(shí)的聯(lián)系，課前要對(duì)平面向量，三角函數(shù)等有關(guān)內(nèi)容作一定的準(zhǔn)備.
④在直線方程的概念時(shí)要通過(guò)舉例清晰地指出兩個(gè)條件，最好能用充要條件敘述直線方程的概念，強(qiáng)化直線與相應(yīng)方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系.為將來(lái)曲線方程做好準(zhǔn)備.
(2)本節(jié)內(nèi)容在教學(xué)中宜采用啟發(fā)引導(dǎo)法和討論法，設(shè)計(jì)為啟發(fā)、引導(dǎo)、探究、評(píng)價(jià)的教學(xué)模式.學(xué)生在積極思維的基礎(chǔ)上，進(jìn)行充分的討論、爭(zhēng)辯、交流、和評(píng)價(jià).傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式的建立，這三項(xiàng)教學(xué)任務(wù)都是在討論、交流、評(píng)價(jià)中完成的.在此過(guò)程生的思維和能力得到充分的發(fā)展.教師的任務(wù)是創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引發(fā)爭(zhēng)論，組織交流，參與評(píng)價(jià).
高考數(shù)學(xué)填空題解答題題型特點(diǎn)分析
填空題和選擇題同屬客觀性，它們有許多共同特點(diǎn)：其形態(tài)短小精悍，考查目標(biāo)集中，答案簡(jiǎn)短、明確、具體，不必填寫(xiě)解答過(guò)程，評(píng)分客觀、公正、準(zhǔn)確等等。不過(guò)填空題和選擇題也有質(zhì)的區(qū)別。首先，表現(xiàn)為填空題沒(méi)有備選項(xiàng)。因此，解答時(shí)既有不受誘誤的干擾之好處，又有缺乏提示的幫助之不足，對(duì)考生獨(dú)立思考和求解，在要求上會(huì)些，長(zhǎng)期以來(lái)，填空題的答對(duì)率一直低于選擇題的答對(duì)率，也許這就是一個(gè)重要的原因。其次，填空題的結(jié)構(gòu)，往往是在一個(gè)正確的命題或斷言中，抽去其中的一些內(nèi)容（既可以是條件，也可以是結(jié)論），留下空位，讓考生獨(dú)立填上，考查比較靈活。在對(duì)題目的閱讀理解上，較之選擇題，有時(shí)會(huì)顯得較為費(fèi)勁。當(dāng)然并非常常如此，這將取決于命題者對(duì)的設(shè)計(jì)意圖。
填空題的考點(diǎn)少，目標(biāo)集中，否則，試題的區(qū)分度差，其信度和效度都難以得到保證。
這是因?yàn)椋禾羁疹}要是考點(diǎn)多，解答過(guò)程長(zhǎng)，影響結(jié)論的因素多，那么對(duì)于答錯(cuò)的考生便難以知道其出錯(cuò)的真正原因。有的可能是一竅不通，入手就錯(cuò)了，有的可能只是到了最后一步才出錯(cuò)，但他們?cè)诖鹁砩媳憩F(xiàn)出來(lái)的情況一樣，得相同的成績(jī)，盡管它們的水平存在很大的差異。
解答題與填空題比較，同屬提供型的試題，但也有本質(zhì)的區(qū)別。首先，解答題應(yīng)答時(shí)，考生不僅要提供出最后的結(jié)論，還得寫(xiě)出或說(shuō)出解答過(guò)程的主要步驟，提供合理、合法的說(shuō)明。填空題則無(wú)此要求，只要填寫(xiě)結(jié)果，省略過(guò)程，而且所填結(jié)果應(yīng)力求簡(jiǎn)練、概括和準(zhǔn)確 高中語(yǔ)文。其次，試題內(nèi)涵，解答題比起填空題要豐富得多。解答題的考點(diǎn)相對(duì)較多，綜合性強(qiáng)，難度較高。解答題成績(jī)的評(píng)定不僅看最后的結(jié)論，還要看其推演和論證過(guò)程，分情況評(píng)定分?jǐn)?shù)，用以反映其差別，因而解答題命題的自由度，較之填空題大得多。
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初中數(shù)學(xué)不等式復(fù)習(xí)訓(xùn)練題06-01
函數(shù)和不等式專項(xiàng)訓(xùn)練題05-30
分式及基本性質(zhì)訓(xùn)練題06-02
基本行程問(wèn)題訓(xùn)練題06-01
基本行程問(wèn)題訓(xùn)練題的總結(jié)06-02
小學(xué)數(shù)學(xué)基本行程問(wèn)題訓(xùn)練題06-02
寫(xiě)作基本句型訓(xùn)練題雅思備考資料06-03
《建設(shè)工程監(jiān)理基本理論》訓(xùn)練題06-22
基本不等式說(shuō)課稿范文11-28