數(shù)學(xué)教案－雙曲線的幾何性質(zhì)
作為一名優(yōu)秀的教育工作者，通常會(huì)被要求編寫教案，教案是教學(xué)藍(lán)圖，可以有效提高教學(xué)效率�？靵韰⒖冀贪甘窃趺磳懙陌�！以下是小編為大家整理的數(shù)學(xué)教案－雙曲線的幾何性質(zhì)，希望能夠幫助到大家。
�、逭n時(shí)目標(biāo)
1．熟悉雙曲線的幾何性質(zhì)。
2．能理解離心率的大小對(duì)雙曲線形狀的影響。
3．能運(yùn)用雙曲線的幾何性質(zhì)或圖形特征，確定焦點(diǎn)的位置，會(huì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
㈡教學(xué)過程
[情景設(shè)置]
敘述橢圓的幾何性質(zhì)，并填寫下表：
方程
性質(zhì)
圖像（略）
范圍-a≤x≤a，-b≤y≤b
對(duì)稱性對(duì)稱軸、對(duì)稱中心
頂點(diǎn)（±a,0）、（±b,0）
離心率e=(幾何意義)
[探索研究]
1．類比橢圓的幾何性質(zhì)，探討雙曲線的幾何性質(zhì)：范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率。
雙曲線的實(shí)軸、虛軸、實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)及離心率的定義。
雙曲線與橢圓的幾何性質(zhì)對(duì)比如下：
方程
性質(zhì)
圖像（略）（略）
范圍-a≤x≤a，-b≤y≤bx≥a,或x≤-a,y∈R
對(duì)稱性對(duì)稱軸、對(duì)稱中心對(duì)稱軸、對(duì)稱中心
頂點(diǎn)（±a,0）、（±b,0）（-a,0）、（a,0）
離心率0＜e=＜1
e=＞1
下面繼續(xù)研究離心率的幾何意義：
（a、b、c、e關(guān)系：c2=a2+b2, e=＞1）
2.漸近線的發(fā)現(xiàn)與論證
根據(jù)橢圓的上述四個(gè)性質(zhì)，能較為準(zhǔn)確地把畫出來嗎？（能）
根據(jù)上述雙曲線的四個(gè)性質(zhì)，能較為準(zhǔn)確地把畫出來嗎？（不能）
通過列表描點(diǎn)，能把雙曲線的頂點(diǎn)及附近的點(diǎn)，比較精確地畫出來，但雙曲線向何處伸展就不很清楚。
我們能較為準(zhǔn)確地畫出曲線y=,這是為什么？（因?yàn)楫?dāng)雙曲線伸向遠(yuǎn)處時(shí)，它與x軸、y軸無限接近）此時(shí)，x軸、y軸叫做曲線y=的漸近線。
問：雙曲線有沒有漸近線呢？若有，又該是怎樣的直線呢？
引導(dǎo)猜想：在研究雙曲線的范圍時(shí)，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可解出：
y=± =±
當(dāng)x無限增大時(shí)，就無限趨近于零，也就是說，這是雙曲線y=±
與直線y=±無限接近。
這使我們猜想直線y=±為雙曲線的漸近線。
直線y=±恰好是過實(shí)軸端點(diǎn)A1、A2，虛軸端點(diǎn)B1、B2，作平行于坐標(biāo)軸的直線x=±a, y=±b所成的矩形的兩條對(duì)角線，那么，如何證明雙曲線上的點(diǎn)沿曲線向遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)時(shí)，與漸近線越來越接近呢？顯然，只要考慮第一象限即可。
證法1：如圖，設(shè)M（x0,y0）為第一象限內(nèi)雙曲線上的仍一點(diǎn)，則
y0=，M（x0,y0）到漸近線ay-bx=0的距離為：
∣MQ∣= =
=．
點(diǎn)M向遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)，x0隨著增大，∣MQ∣就逐漸減小，M點(diǎn)就無限接近于y=
故把y=±叫做雙曲線的漸近線。
3．離心率的幾何意義
∵e=，c＞a, ∴e＞1由等式c2-a2=b2,可得===
e越�。ń咏�1）越接近于0，雙曲線開口越�。ū猹M）
e越大越大，雙曲線開口越大（開闊）
4．鞏固練習(xí)
求下列雙曲線的漸近線方程，并畫出雙曲線。
�、�4x2-y2=4 ②4x2-y2=-4
已知雙曲線的漸近線方程為x±2y=0，分別求出過以下各點(diǎn)的雙曲線方程
�、費(fèi)（4，）②M（4，）
[知識(shí)應(yīng)用與解題研究]
例1求雙曲線9y2-16x2=144的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程。
例2雙曲線型自然通風(fēng)塔的`外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面，如圖；它的最小半徑為12m,上口半徑為13m,下口半徑為25m,高為55m,選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出此雙曲線的方程（精確到1m）
�、杼釤捒偨Y(jié)
1.雙曲線的幾何性質(zhì)及a、b、c、e的關(guān)系。
2.漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)，其發(fā)現(xiàn)證明蘊(yùn)含了重要的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法。
3.雙曲線的幾何性質(zhì)與橢圓的幾何性質(zhì)類似點(diǎn)和不同點(diǎn)。
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