基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)（通用8篇）
作為一名專為他人授業(yè)解惑的人民教師，時(shí)常要開展教學(xué)設(shè)計(jì)的準(zhǔn)備工作，編寫教學(xué)設(shè)計(jì)有利于我們科學(xué)、合理地支配課堂時(shí)間。教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)該怎么寫才好呢？以下是小編為大家收集的基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)（通用8篇），僅供參考，希望能夠幫助到大家。
基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)1
教材分析
本節(jié)課是在系統(tǒng)的學(xué)習(xí)了不等關(guān)系和不等式性質(zhì)，掌握了不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上展開的，作為重要的基本不等式之一，為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。要進(jìn)一步了解不等式的性質(zhì)及運(yùn)用，研究最值問(wèn)題，此時(shí)基本不等式是必不可缺的�；静坏仁皆谥R(shí)體系中起了承上啟下的作用，同時(shí)在生活及生產(chǎn)實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用，因此它也是對(duì)學(xué)生進(jìn)行情感價(jià)值觀教育的好素材，所以基本不等式應(yīng)重點(diǎn)研究。
教學(xué)中注意用新課程理念處理教材，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不僅要接受、記憶、模仿和練習(xí)，而且要自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)，師生互動(dòng)，教師發(fā)揮組織者、引導(dǎo)者、合作者的作用，引導(dǎo)學(xué)生主體參與、揭示本質(zhì)、經(jīng)歷過(guò)程。通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣。
課程目標(biāo)分析
依據(jù)《新課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)《不等式》學(xué)段的目標(biāo)要求和學(xué)生的實(shí)際情況，特確定如下目標(biāo)：
1、知識(shí)與能力目標(biāo)：理解掌握基本不等式，并能運(yùn)用基本不等式解決一些簡(jiǎn)單的求最值問(wèn)題;理解算數(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的概念，學(xué)會(huì)構(gòu)造條件使用基本不等式;培養(yǎng)學(xué)生探究能力以及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。
2、過(guò)程與方法目標(biāo)：按照創(chuàng)設(shè)情景，提出問(wèn)題→剖析歸納證明→幾何解釋→應(yīng)用(最值的求法、實(shí)際問(wèn)題的解決)的過(guò)程呈現(xiàn)。啟動(dòng)觀察、分析、歸納、總結(jié)、抽象概括等思維活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，體會(huì)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)方法，通過(guò)運(yùn)用多媒體的教學(xué)手段，引領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)探索基本不等式性質(zhì)，體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)規(guī)律的方法，體驗(yàn)成功的樂(lè)趣。
3、情感與態(tài)度目標(biāo)：通過(guò)問(wèn)題情境的設(shè)置，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是從實(shí)際中來(lái)，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看世界，通過(guò)數(shù)學(xué)思維認(rèn)知世界，從而培養(yǎng)學(xué)生善于思考、勤于動(dòng)手的良好品質(zhì)。
教學(xué)重、難點(diǎn)分析
重點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索基本不等式的證明過(guò)程及應(yīng)用。
難點(diǎn)：
1、基本不等式成立時(shí)的三個(gè)限制條件(簡(jiǎn)稱一正、二定、三相等);
2、利用基本不等式求解實(shí)際問(wèn)題中的最大值和最小值。
教法分析
本節(jié)課采用觀察——感知——抽象——?dú)w納——探究;啟發(fā)誘導(dǎo)、講練結(jié)合的教學(xué)方法，以學(xué)生為主體，以基本不等式為主線，從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，放手讓學(xué)生探究思索。以現(xiàn)代信息技術(shù)多媒體課件作為教學(xué)輔助手段，加深學(xué)生對(duì)基本不等式的理解。
教學(xué)準(zhǔn)備
多媒體課件、板書
教學(xué)過(guò)程
教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)以問(wèn)題為中心，以探究解決問(wèn)題的方法為主線展開。這種安排強(qiáng)調(diào)過(guò)程，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，使數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程成為學(xué)生對(duì)知識(shí)的再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。
具體過(guò)程安排如下：
創(chuàng)設(shè)情景，提出問(wèn)題;
設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)教育必須基于學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，現(xiàn)實(shí)情境問(wèn)題是數(shù)學(xué)教學(xué)的平臺(tái)，數(shù)學(xué)教師的任務(wù)之一就是幫助學(xué)生構(gòu)造數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展他們的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí).基于此，設(shè)置如下情境：
上圖是在北京召開的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客。
[問(wèn)]你能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎?
本背景意圖在于利用圖中相關(guān)面積間存在的數(shù)量關(guān)系，抽象出不等式。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)基本不等式。
二、抽象歸納：
一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，有，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。
[問(wèn)]你能給出它的證明嗎?
學(xué)生在黑板上板書。
特別地，當(dāng)a>0，b>0時(shí)，在不等式中，以、分別代替a、b，得到什么?
設(shè)計(jì)依據(jù)：類比是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要方法，此環(huán)節(jié)不僅讓學(xué)生理解了基本不等式不等式的來(lái)源，突破了重點(diǎn)和難點(diǎn)，而且感受了其中的函數(shù)思想，為今后學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).
答案：。
【歸納總結(jié)】
如果a，b都是正數(shù)，那么，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。
我們稱此不等式為基本不等式。其中稱為a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱為a，b的幾何平均數(shù)。
三、理解升華：
1、文字語(yǔ)言敘述：
兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。
2、聯(lián)想數(shù)列的知識(shí)理解基本不等式
已知a，b是正數(shù)，A是a，b的等差中項(xiàng)，G是a，b的正的等比中項(xiàng)，A與G有無(wú)確定的大小關(guān)系?
兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們正的等比中項(xiàng)。
3、符號(hào)語(yǔ)言敘述：
若，則有，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，。
[問(wèn)]怎樣理解“當(dāng)且僅當(dāng)”?(學(xué)生小組討論，交流看法，師生總結(jié))
“當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立”的含義是：
基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)2
教學(xué)目的
掌握不等式的基本性質(zhì)，會(huì)用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行不等式的變形。
教學(xué)過(guò)程
師：我們已學(xué)過(guò)等式，不等式，現(xiàn)在我們來(lái)看兩組式子（教師出示小黑板中的兩組式子），請(qǐng)同學(xué)們觀察，哪些是等式？哪些是不等式？
第一組：1+2=3; a+b=b+a; S =ab; 4+x =7。
第二組：-7 < -5; 3+4 > 1+4; 2x ≤6， a+2 ≥0; 3≠4。
生：第一組都是等式，第二組都是不等式。
師：那么，什么叫做等式？什么叫做不等式？
生：表示相等關(guān)系的式子叫做等式；表示不等式的式子叫做不等式。
師：在數(shù)學(xué)熾，我們用等號(hào)“=”來(lái)表示相等關(guān)系，用不等式號(hào)“〈”、“〉”或“≠”表示不等關(guān)系，其中“＞”和“＜”表示大小關(guān)系。表示大小關(guān)系的不等式是我們中學(xué)教學(xué)所要研究的。
前面我們學(xué)過(guò)了等式，同學(xué)們還記得等式的性質(zhì)嗎？
生：等式有這樣的性質(zhì)：等式兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除以（ 除數(shù)不為零）同一個(gè)數(shù)，所得到的仍是等式。
師：很好！當(dāng)我們開始研究不等式的時(shí)候，自然會(huì)聯(lián)想到，是否有與等式相類似的性質(zhì)，也就是說(shuō)，如果在不等式的兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除經(jīng)（除數(shù)不為零）同一個(gè)數(shù)，結(jié)果將會(huì)如何呢？讓我們先做一些試驗(yàn)練習(xí)。
練習(xí)1 (回答)用小于號(hào)“<”或大于號(hào)“>”填空。
�。�1）7 ___ 4; （2）- 2____6; （3）- 3_____ -2； （4）- 4_____-6
練習(xí)2（口答）分別從練習(xí)1中四個(gè)不等式出發(fā)，進(jìn)行下面的運(yùn)算。
�。�1）兩邊都加上（或都減去）5，結(jié)果怎樣？不等號(hào)的方向改變了嗎？
（2）兩邊都乘以（或都除以）5，結(jié)果怎樣？不等號(hào)的方向改變了嗎？
�。�3）兩邊都乘以（或都除以）（-5），結(jié)果怎樣？不等號(hào)的方向改變了嗎？
生：我們發(fā)現(xiàn)：在練習(xí)2中，第（1）、（2）題的結(jié)果是不等號(hào)的方向不變；在第（3）題中，結(jié)果是不等號(hào)的方向改變了！
師：同學(xué)們觀察得很認(rèn)真，大家再進(jìn)一步探討一下，在什么情況下不等號(hào)的方向就會(huì)發(fā)生改變呢？
生甲：在原不等式的兩邊都乘以（或除以）一個(gè)負(fù)數(shù)的情況下，不等號(hào)的方向要改變。
師：有沒(méi)有不同的意見？大家都同意他的看法嗎？可能還有同學(xué)不放心，讓我們?cè)僮鲆恍┰囼?yàn)。
練習(xí)3（口答）分別在下面四個(gè)不等式的兩邊都以乘以（可除以）-2，看看不等號(hào)的方向是否改變：
7＞4；-2＜6；-3＜-2；-4＞-6。
師：現(xiàn)在我們可以歸納出不等式的基本性質(zhì)，一般地說(shuō)，不等式的基本性質(zhì)有三條：
性質(zhì)1：不等式的兩邊都加上（或都減去）同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)的方向 。
�。ㄗ屚瑢W(xué)回答。）
性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向 。（讓同學(xué)回答。）
性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向 。（讓同學(xué)回答。）
現(xiàn)在請(qǐng)大家翻開課本，一起朗讀用黑體字寫的三條基本性質(zhì)。
不等式的這三條基本性質(zhì)，都可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，先請(qǐng)一位同學(xué)說(shuō)一說(shuō)第一條基本性質(zhì)。
生：如果a＜b。那么a+c＜b+c（或a-c＜b-c；如果a＞b，那么a+c＞b+c（或a-c＞b-c）。
師：對(duì)a和b有什么要求嗎？對(duì)c有什么要求？
生：沒(méi)有什么要求。
師：哪位同學(xué)來(lái)回答第二、三條性質(zhì)？
生甲：如果a0， 那么acb，且c>0，那么ac>bc(或
生乙：如果abc(或 )；如果a>b，且c<0，那么ac 師：這兩條性質(zhì)中，對(duì)a、b、c有什么要求？ 生：對(duì)a、b沒(méi)什么要求，特別要注意c是正數(shù)還是負(fù)數(shù)。 師：很好，c可以為零嗎？ 生：c不能為零。因?yàn)閏為零時(shí)，任何不等式兩邊都乘以零就變成等式了。 師：好！應(yīng)用剛才學(xué)到的基本性質(zhì)，我們來(lái)看下面的例題。 [例1]按照下列條件，寫出仍能成立的不等式： �。�1）5＜9，兩邊都加上-3； �。�2）9＞4，兩邊都減去10； �。�3）-5＜3，兩邊都乘以4； �。�4）14＞-8，兩邊都除以-2。 解 （1）根據(jù)不等式基本性質(zhì)1，在不等式59的兩邊都加上-3，不等號(hào)的方向不變，所以 5+（-3）＜9+（-3）， 2＜6 �。�2）根據(jù)不等式基本性質(zhì)1，得 9-10＞4-10 -1＞-6 �。�3）根據(jù)不等式基本性質(zhì)2，得 -5×4＜3×4 -20＜12 �。�4）根據(jù)不等式基本性質(zhì)3，得 14÷（-2）＜（-8）÷（-2） -7＜4 [例2]設(shè)a＞b，用不等號(hào)連結(jié)下列各題中的兩式： �。�1）a-3與b-3;（2）2a與2b;（3）-a與-b。 師：哪一位同學(xué)來(lái)做這題？解題時(shí)，要講清一步的理由。 生甲：因?yàn)閍＞b，兩邊都減去3，由不等式的基本性質(zhì)1，得 a-3＞b-3． 師：很好，大家都是這樣做的嗎？ 生乙：我是這樣做的，因?yàn)閍＞b，兩邊都加上（-3），由基本性質(zhì)1，得 a-3＞b-3． 師：好！這兩位同學(xué)從不同的角度來(lái)分析題目，都得到了正確的結(jié)論。 生丙：因?yàn)閍＞b，2＞0，由基本性質(zhì)2，得2a＞2b。 生丁：因?yàn)閍＞b，-1＞0，由基本性質(zhì)3，得-a＞-b。 師：下面我們來(lái)看一組較復(fù)雜的問(wèn)題，請(qǐng)大家都來(lái)開動(dòng)腦筋，認(rèn)真審題，仔細(xì)分析。[例3]判斷以下各題的結(jié)論是否正確，并說(shuō)明都理由： (1)如果a>b，且c>0，那么ac>bd; (2)如果a>b，那么ac2>bc2; (3)如果ac2>bc2，那么a>b; (4)如果a>b，那么a-b>0; (5)如果ax>b，且a≠0，那么x< ; (6)如果a+b>a; 生甲：（1）不對(duì)，當(dāng)c=d≤0時(shí)，ac＞bd不成立。 生乙：（2）也不對(duì)，因?yàn)閏2是一個(gè)非負(fù)數(shù)，當(dāng)c=0時(shí)，ac2＞bc2不成立。 生丙：（3）對(duì)，因?yàn)閍c2＞bc2成立，則c2一定大于零，根據(jù)不等式基本性質(zhì)2，得a＞b出。 （4）對(duì)，根據(jù)不等式基本性質(zhì)，由a＞b，兩邊減去b得a-b＞0。 （5）不對(duì)，當(dāng)a＜0時(shí)，根據(jù)不等式基本性質(zhì)3，得。 （6）不對(duì)，因?yàn)楫?dāng)b＜0時(shí)，根據(jù)不等式基本性質(zhì)1，得a+b＜a；而當(dāng)b=0時(shí)，則有a+b=a。 師：同學(xué)們回答得很好。今天我們學(xué)習(xí)了不等式的基本性質(zhì)，我們不僅要理解這三條性質(zhì)，還要能靈活運(yùn)用。 課外做以下作業(yè)：略。 教案說(shuō)明 �。�1） 不等式的基本性質(zhì)的教學(xué)，是分成兩個(gè)階段進(jìn)行的。在初中階段，對(duì)不等式的基本性質(zhì)，并不作證明，只引導(dǎo)學(xué)生用試驗(yàn)的方法，歸納出三條基本性質(zhì)。通過(guò)試驗(yàn)，由特殊到一般，由具體到抽象，這是一種認(rèn)識(shí)事物規(guī)律的重要方法�？茖W(xué)上的許多發(fā)現(xiàn)，大多離不開試驗(yàn)和觀察。大數(shù)學(xué)家歐拉說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)這門科學(xué)，需要觀察，也需要試驗(yàn)。”通過(guò)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生掌握由試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)規(guī)律的方法，具有重要的意義。當(dāng)然通過(guò)幾個(gè)特殊的試驗(yàn)，就得出一般的結(jié)論，是不嚴(yán)密的。但對(duì)初中學(xué)生來(lái)說(shuō)，初次接觸不等式，是不能要求那么嚴(yán)密的。 （2） 不等式的基本性質(zhì)的教學(xué)，還應(yīng)采用對(duì)比的方法。學(xué)生已學(xué)過(guò)等式和等式的性質(zhì)，為了便于和加深對(duì)不等式基本性質(zhì)的理解，在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)將不等式的性質(zhì)與等式的性質(zhì)加以比較：強(qiáng)調(diào)等式的兩邊都加上或減去，都乘以或除以（除數(shù)不能為零）同一個(gè)數(shù)，所得到的仍是等式，這個(gè)數(shù)可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零；而在不等式的兩邊都加上或減去，都乘以或除以（除數(shù)不能為零）同一個(gè)數(shù)，當(dāng)這個(gè)數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零時(shí)，對(duì)不等式的方向，有什么不同的影響。通過(guò)這樣的對(duì)比，不但可以復(fù)習(xí)已學(xué)過(guò)的等式有關(guān)知識(shí)，便于引入新課，而且也有利于掌握不等式的基本性質(zhì)。對(duì)比的方法，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要方法。 �。�3） 在應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)對(duì)不等式進(jìn)行變形時(shí)，學(xué)生對(duì)不等式兩邊是具體數(shù)，判定大小關(guān)系比較容易。因?yàn)檫@實(shí)際上是有理數(shù)大小的比較。對(duì)于不等式兩邊是含字母的代數(shù)式時(shí)，根據(jù)題給的條件，運(yùn)用不等式基本性質(zhì)判別大小關(guān)系或不等號(hào)方向，就比較困難。因?yàn)樗容^抽象，特別是在運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)2和性質(zhì)3時(shí)，學(xué)生必須考慮不等式兩邊同乘（或同除）的這個(gè)用字母表示的數(shù)的符號(hào)是什么，或者還要對(duì)這個(gè)用字母表示的數(shù)，按正數(shù)、負(fù)數(shù)或零三種情況加以討論。在教學(xué)過(guò)程中，對(duì)于這類題目，采用討論法是比較好的。因?yàn)樵谟懻摃r(shí)，學(xué)生可以充分發(fā)表各種見解。對(duì)于正確的見解，教師可以讓學(xué)生說(shuō)出解題的依據(jù)；對(duì)于錯(cuò)誤的見解，教師可以進(jìn)行啟發(fā)引導(dǎo)，發(fā)動(dòng)學(xué)生自己找出錯(cuò)誤的原因，自己修正見解。這樣，有利于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，有的放矢地解決問(wèn)題，有利于深化對(duì)不等式基本性質(zhì)的認(rèn)識(shí)。 一、教學(xué)目標(biāo)： �。ㄒ唬┲R(shí)與技能 1．掌握不等式的三條基本性質(zhì)。 2．運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)對(duì)不等式進(jìn)行變形。 �。ǘ┻^(guò)程與方法 1．通過(guò)等式的性質(zhì)，探索不等式的性質(zhì)，初步體會(huì)“類比”的數(shù)學(xué)思想。 2．通過(guò)觀察、猜想、驗(yàn)證、歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng)，經(jīng)歷從特殊到一般、由具體到抽象的認(rèn)知過(guò)程，感受數(shù)學(xué)思考過(guò)程的條理性，發(fā)展思維能力和語(yǔ)言表達(dá)能力。 �。ㄈ┣楦袘B(tài)度與價(jià)值觀 通過(guò)探究不等式基本性質(zhì)的活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生合作交流的意識(shí)和大膽猜想，樂(lè)于探究的良好思維品質(zhì)。 二、教學(xué)重難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)： 探索不等式的三條基本性質(zhì)并能正確運(yùn)用它們將不等式變形。 教學(xué)難點(diǎn)： 不等式基本性質(zhì)3的探索與運(yùn)用。 三、教學(xué)方法：自主探究——合作交流 四、教學(xué)過(guò)程: 情景引入：1．舉例說(shuō)明什么是不等式？ 2．判斷下列各式是否成立？并說(shuō)明理由。 ( 1 ) 若x－6=10, 則x＝16( ) ( 2 ) 若3x=15, 則 x＝5 ( ) ( 3 ) 若x－6＞10 則 x＞16( ) ( 4 ) 若3x＞15 則 x＞5 ( ) 【設(shè)計(jì)意圖】（1）、（2）小題喚起對(duì)舊知識(shí)等式的基本性質(zhì)的回憶，（3）、（4）小題引導(dǎo)學(xué)生大膽說(shuō)出自己的想法。 溫故知新 問(wèn)題1．由等式性質(zhì)1你能猜想一下不等式具有什么樣的性質(zhì)嗎？ 等式性質(zhì)1：等式兩邊都加上或減去同一個(gè)數(shù)（或同一個(gè)整式），所得結(jié)果仍是不等式。 估計(jì)學(xué)生會(huì)猜：不等式兩邊都加上或減去同一個(gè)數(shù)（或同一個(gè)整式），所得結(jié)果仍是不等式。教師引導(dǎo)：“＝”沒(méi)有方向性，所以可以說(shuō)所得結(jié)果仍是等式，而不等號(hào)：“＞，＜，≥，≤”具有方向性，我們應(yīng)該重點(diǎn)研究它在方向上的變化。 問(wèn)題2．你能通過(guò)實(shí)驗(yàn)、猜想，得出進(jìn)一步的結(jié)論嗎？ 同學(xué)通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證得出結(jié)論，師生共同總結(jié)不等式性質(zhì)1。 問(wèn)題3．你能由等式性質(zhì)2進(jìn)一步猜想不等式還具有什么性質(zhì)嗎？ 等式性質(zhì)2：等式兩邊都乘或除以同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不能是0），等式依然成立。 估計(jì)學(xué)生會(huì)猜：不等式兩邊都乘或除以同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不能是0），不等號(hào)的方向不變。 你能和小伙伴一起來(lái)驗(yàn)證你們的猜想嗎？ 學(xué)生在小組內(nèi)合作交流，發(fā)現(xiàn)了在不等式兩邊都乘或除以同一個(gè)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向會(huì)出現(xiàn)兩種情況。教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)分析、比較探索規(guī)律，從而形成共識(shí)，歸納概括出不等式性質(zhì)2和3。 問(wèn)題4．在不等式兩邊都乘0會(huì)出現(xiàn)什么情況？ 問(wèn)題5．如果a、b、c表示任意數(shù)，且a＜b，你能用a、b、c把不等式的基本性質(zhì)表示出來(lái)碼？ 【想一想】不等式的基本性質(zhì)與等式的基本性質(zhì)有什么相同之處，有什么不同之處？ 學(xué)生思考，獨(dú)立總結(jié)異同點(diǎn)。 【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生把二者進(jìn)行比較，有助于加深對(duì)不等式基本性質(zhì)的理解，促成知識(shí)的“正遷移”。 綜合訓(xùn)練：你能運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)解決問(wèn)題嗎？ 1、課本62頁(yè)例3 教師引導(dǎo)學(xué)生觀察每個(gè)問(wèn)題是由a＞b經(jīng)過(guò)怎樣的變形得到的，應(yīng)該應(yīng)用不等式的哪條基本性質(zhì)。由學(xué)生思考后口答。 2、你認(rèn)為在運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)時(shí)哪一條性質(zhì)最容易出錯(cuò)，應(yīng)該怎樣記�。� 3．火眼金睛 �、賏＞1, 則2a___a ②a＞3a,則 a ___ 0 【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)變式訓(xùn)練，加深學(xué)生對(duì)新知的理解，培養(yǎng)學(xué)生分析、探究問(wèn)題的能力。 課堂小結(jié)： 這節(jié)課你有哪些收獲？你認(rèn)為自己的表現(xiàn)如何？教師引導(dǎo)學(xué)生回顧、思考、交流。 【設(shè)計(jì)意圖】回顧、總結(jié)、提高。學(xué)生自覺(jué)形成本節(jié)的課的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。 思考題 咱們班的盛芳同學(xué)準(zhǔn)備在五、一期間和他的爸爸、媽媽外出旅游。青年旅行社的標(biāo)準(zhǔn)為：大人全價(jià)，小孩半價(jià)；方正旅行社的標(biāo)準(zhǔn)為：大人、小孩一律八折。若兩家旅行社的基本價(jià)一樣，你能幫盛芳同學(xué)考慮一下選擇哪家旅行社更合算嗎？ 【設(shè)計(jì)意圖】利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，解決生活中的問(wèn)題，加強(qiáng)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，體驗(yàn)數(shù)學(xué)是描述現(xiàn)實(shí)世界的重要手段。 一、三維目標(biāo)： 1、知識(shí)與技能： 理解基本不等式的內(nèi)容及其證明，能應(yīng)用基本不等式解決求最值、證明不等式、比較大小、求取值范圍等問(wèn)題 2、過(guò)程與方法： 能夠理解并建立不等式的知識(shí)鏈 3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀： 通過(guò)運(yùn)用基本不等式解答實(shí)際問(wèn)題，提高用數(shù)學(xué)手段解答現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題的能力和意識(shí) 4、本節(jié)重點(diǎn)： 應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，理解基本不等式，并從不同角度探索基本不等式的證明過(guò)程 5、本節(jié)難點(diǎn)： 應(yīng)用基本不等式求最值 二、課程引入： 第24屆世界數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京召開，會(huì)標(biāo)設(shè)計(jì)如圖： 四個(gè)以a，b為直角邊的直角△ABC，組成正方形ABCD 則 如圖可知： 即 當(dāng)且僅當(dāng)小正方形EFGH面積為0時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取得等號(hào) 三、新課講授： �。ㄒ唬┗静坏仁降耐谱C： 1、重要不等式與基本不等式 由引入中提到的重要不等式，將其中的用代換， 得到基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取得等號(hào)。 特別注意，重要不等式的適用范圍是全體實(shí)數(shù)， 而基本不等式的使用需要 2、基本不等式的幾種表述方式 平均數(shù)角度：兩正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)（均值不等式定理） 數(shù)列角度：兩正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng) 探究：基本不等式的幾何表示：半徑不小于半弦長(zhǎng) 3、分析法推證基本不等式 要證，只需證明（2）。要證明（2）只需證明（3）。 要證明（3）只需證明（4）。（4）式顯然成立，故得證。 �。ǘ┗静坏仁降膽�(yīng)用與提高： 1、你是設(shè)計(jì)師！ �。�1）春天到了，學(xué)校決定用籬笆圍一個(gè)面積為100平米的花圃種花。有以下兩種方案： 圓形花圃：造價(jià)12元/米 矩形花圃：造價(jià)10元/米 你覺(jué)得哪個(gè)方案更省錢呢？ 分析及解答：因?yàn)槌踔袑W(xué)習(xí)過(guò)平面幾何，同學(xué)們大都知道，同樣長(zhǎng)度的籬笆圍圓形會(huì)比圍矩形得到的面積大，由此可知，同樣的面積肯定是為圓形用的材料省。但是本題涉及造價(jià)問(wèn)題，兩種籬笆的花費(fèi)不同。圓形籬笆雖然需要的材料少，但是每米的花費(fèi)高，所以到底應(yīng)該用哪個(gè)方案需要?jiǎng)邮炙阋幌虏拍苤�。在這里讓學(xué)生分成兩派，可以自己選擇一個(gè)認(rèn)為比較省錢的方案去計(jì)算。 圓形花圃： 矩形花圃：設(shè)兩邊為x，y，，故當(dāng)x=y時(shí)花費(fèi)最少為400元 �。�2）現(xiàn)在只有36米的籬笆可用，怎么樣設(shè)計(jì)才能使得矩形花圃的面積最大？ 解： �。�3）有人出了個(gè)主意，讓花圃的一面靠墻，利用墻壁作為花圃的一邊，可以省一部分材料。那么發(fā)揮你的聰明才智，用這36米的籬笆，怎么樣設(shè)計(jì)才能圍出面積最大的花圃？ 2、看誰(shuí)算得快！ 3、大家來(lái)挑錯(cuò)！ 分析：結(jié)合上一系列題目中的（5）-（7）題可知，本題的解答忽略了對(duì)基本不等式使用時(shí)必須是正數(shù)這一點(diǎn)注意事項(xiàng)。 本題的解答在使用基本不等式時(shí)沒(méi)有找到定值條件，只是盲目的套用基本不等式的形式，導(dǎo)致所得結(jié)果并不是最小的值。 提醒同學(xué)注意：在使用基本不等式求最值為題時(shí)，式中的積或和必須是定值。 本題的解答沒(méi)有注意本身的限制，使得基本不等式的等號(hào)無(wú)法取得。 提醒同學(xué)注意：最值是否存在要考慮基本不等式中的`等號(hào)是否能取得，在什么情況下取得。 （三）小結(jié)： 1、使用重要不等式和基本不等式需要注意適用條件，基本不等式需要正數(shù)，重要不等式可用于全體實(shí)數(shù)。 2、積定和最小、和定積最大。 3、使用基本不等式解決最值問(wèn)題需要注意“一正，二定，三相等” 四、作業(yè)： 1、書后練習(xí)題。 2、請(qǐng)你給出大家來(lái)挑錯(cuò)環(huán)節(jié)里三道題目的正確解答。 五、課后反思： 1、多媒體的運(yùn)用。 在引入部分，關(guān)于數(shù)學(xué)家大會(huì)的圖標(biāo)，如果可以進(jìn)一步利用多媒體做出可以變形的效果，讓學(xué)生更加直觀的觀察到變換過(guò)程的話，教學(xué)效果會(huì)更好。 2、應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生多種思路考慮問(wèn)題 比如這樣的拼湊出定值條件的思路是學(xué)生應(yīng)該掌握的。 3、因?yàn)楸竟?jié)是新課講授，學(xué)生新接觸一個(gè)知識(shí)，還沒(méi)有能夠很好的融會(huì)貫通。因此上在這個(gè)階段不應(yīng)該做過(guò)難的題目。一些簡(jiǎn)單的，同時(shí)可以起到鞏固新知識(shí)的小題目往往可以起到更好的效果。本課中設(shè)計(jì)了一些基本可以口答的小題，讓學(xué)生在很短的時(shí)間中完成。這不僅可以強(qiáng)化學(xué)生會(huì)本節(jié)主要內(nèi)容的理解和運(yùn)用，而且也對(duì)快速反應(yīng)和解答題目進(jìn)行了強(qiáng)化，提高學(xué)生解題效率。 4、讓學(xué)生學(xué)會(huì)檢查和挑錯(cuò)其實(shí)是很重要的。本課中的大家來(lái)挑錯(cuò)環(huán)節(jié)不僅可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)本節(jié)重點(diǎn)內(nèi)容的理解，而且再遇到相似題型的時(shí)候可以避免犯類似的錯(cuò)誤，提高教學(xué)效率。同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生質(zhì)疑精神，尋求科學(xué)真理的熱情。 教學(xué)重點(diǎn) 1、創(chuàng)設(shè)代數(shù)與幾何背景，用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式； 2、從不同角度探索基本不等式的證明過(guò)程； 3、從基本不等式的證明過(guò)程進(jìn)一步體會(huì)不等式證明的常用思路。 教學(xué)難點(diǎn) 1、對(duì)基本不等式從不同角度的探索證明； 2、通過(guò)基本不等式的證明過(guò)程體會(huì)分析法的證明思路。 教具準(zhǔn)備 多媒體及課件 三維目標(biāo) 一、知識(shí)與技能 1、創(chuàng)設(shè)用代數(shù)與幾何兩方面背景，用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式； 2、嘗試讓學(xué)生從不同角度探索基本不等式的證明過(guò)程； 3、從基本不等式的證明過(guò)程進(jìn)一步體會(huì)不等式證明的常用思路，即由條件到結(jié)論，或由結(jié)論到條件。 二、過(guò)程與方法 1、采用探究法，按照聯(lián)想、思考、合作交流、邏輯分析、抽象應(yīng)用的方法進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)； 2、教師提供問(wèn)題、素材，并及時(shí)點(diǎn)撥，發(fā)揮老師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用； 3、將探索過(guò)程設(shè)計(jì)為較典型的具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生去積極思考，從而培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。 三、情感態(tài)度與價(jià)值觀 1、通過(guò)具體問(wèn)題的解決，讓學(xué)生去感受、體驗(yàn)現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等量關(guān)系并需要從理性的角度去思考，鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行歸納、抽象，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)、走進(jìn)數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣和良好的思維習(xí)慣； 2、學(xué)習(xí)過(guò)程中，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的探究思考，廣泛參與，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣，主動(dòng)、積極的學(xué)習(xí)品質(zhì)，從而提高學(xué)習(xí)質(zhì)量； 3、通過(guò)對(duì)富有挑戰(zhàn)性問(wèn)題的解決，激發(fā)學(xué)生頑強(qiáng)的探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度，同時(shí)去感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，體會(huì)數(shù)學(xué)的奧秘、數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)美，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。 教學(xué)過(guò)程 導(dǎo)入新課 探究：上圖是在北京召開的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客，你能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？ （教師用投影儀給出第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，并介紹此會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客。通過(guò)直觀情景導(dǎo)入有利于吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，并增強(qiáng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)主義熱情） 推進(jìn)新課 師 同學(xué)們能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？如何找？ �。ǔ领o片刻） 生 應(yīng)該先從此圖案中抽象出幾何圖形。 師 此圖案中隱含什么樣的幾何圖形呢？哪位同學(xué)能在黑板上畫出這個(gè)幾何圖形？ （請(qǐng)兩位同學(xué)在黑板上畫。教師根據(jù)兩位同學(xué)的板演作點(diǎn)評(píng)） �。ㄆ渲兴膫�(gè)直角三角形沒(méi)有畫全等，不形象、直觀。此時(shí)教師用投影片給出隱含的規(guī)范的幾何圖形） 師 同學(xué)們觀察得很細(xì)致，抽象出的幾何圖形比較準(zhǔn)確。這說(shuō)明，我們只要在現(xiàn)有的基礎(chǔ)上進(jìn)一步刻苦努力，發(fā)奮圖強(qiáng)，也能作出和數(shù)學(xué)家趙爽一樣的成績(jī)。 �。ù藭r(shí)，每一位同學(xué)看上去都精神飽滿，信心百倍，全神貫注地投入到本節(jié)課的學(xué)習(xí)中來(lái)） �。圻^(guò)程引導(dǎo)］ 師 設(shè)直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為a、b，那么，四個(gè)直角三角形的面積之和與正方形的面積有什么關(guān)系呢？ 生 顯然正方形的面積大于四個(gè)直角三角形的面積之和。 師 一定嗎？ �。ù蠹引R聲：不一定，有可能相等） 師 同學(xué)們能否用數(shù)學(xué)符號(hào)去進(jìn)行嚴(yán)格的推理證明，從而說(shuō)明我們剛才直覺(jué)思維的合理性？ 生 每個(gè)直角三角形的面積為，四個(gè)直角三角形的面積之和為2ab。正方形的邊長(zhǎng)為，所以正方形的面積為a2+b2，則a2+b2≥2ab。 師 這位同學(xué)回答得很好，表達(dá)很全面、準(zhǔn)確，但請(qǐng)大家思考一下，他對(duì)a2+b2≥2ab證明了嗎？ 生 沒(méi)有，他仍是由我們剛才的直觀所得，只是用字母表達(dá)一下而已。 師 回答得很好。 �。ㄓ械耐瑢W(xué)感到迷惑不解） 師 這樣的敘述不能代替證明。這是同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)經(jīng)常會(huì)犯的錯(cuò)誤。實(shí)質(zhì)上，對(duì)文字性語(yǔ)言敘述證明題來(lái)說(shuō)，他只是寫出了已知、求證，并未給出證明。 �。ㄓ械耐瑢W(xué)竊竊私語(yǔ)，確實(shí)是這樣，并沒(méi)有給出證明） 師 請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)思考，該如何證明此不等式，即a2+b2≥2ab。 生 采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，∵(a-b)2是一個(gè)完全平方數(shù)，它是非負(fù)數(shù)，即(a-b)2≥0，所以可得a2+b2≥2ab。 師 同學(xué)們思考一下，這位同學(xué)的證明是否正確？ 生 正確。 ［教師精講］ 師 這位同學(xué)的證明思路很好。今后，我們把這種證明不等式的思想方法形象地稱之為“比較法”，它和根據(jù)實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)比較兩個(gè)代數(shù)式的大小是否一樣。 生 實(shí)質(zhì)一樣，只是設(shè)問(wèn)的形式不同而已。一個(gè)是比較大小，一個(gè)是讓我們?nèi)プC明。 師 這位同學(xué)回答得很好，思維很深刻。此處的比較法是用差和0作比較。在我們的數(shù)學(xué)研究當(dāng)中，還有另一種“比較法”。 （教師此處的設(shè)問(wèn)是針對(duì)學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)而言） 生 作商，用商和“1”比較大小。 師 對(duì)。那么我們?cè)谟龅竭@類問(wèn)題時(shí)，何時(shí)采用作差，何時(shí)采用作商呢？這個(gè)問(wèn)題讓同學(xué)們課后去思考，在解決問(wèn)題中自然會(huì)遇到。 �。ù颂幵O(shè)置疑問(wèn)，意在激發(fā)學(xué)生課后去自主探究問(wèn)題，把探究的思維空間切實(shí)留給學(xué)生） �。酆献魈骄浚� 師 請(qǐng)同學(xué)們?cè)僮屑?xì)觀察一下，等號(hào)何時(shí)取到。 生 當(dāng)四個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn)重合時(shí)，即面積相等時(shí)取等號(hào)。 （學(xué)生的思維仍建立在感性思維基礎(chǔ)之上，教師應(yīng)及時(shí)點(diǎn)撥） 師 從不等式a2+b2≥2ab的證明過(guò)程能否去說(shuō)明。 生 當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)2=0，即a=b時(shí)，取等號(hào)。 師 這位同學(xué)回答得很好。請(qǐng)同學(xué)們看一下，剛才兩位同學(xué)分別從幾何圖形與不等式兩個(gè)角度分析等號(hào)成立的條件是否一致。 （大家齊聲）一致。 （此處意在強(qiáng)化學(xué)生的直覺(jué)思維與理性思維要合并使用。就此問(wèn)題來(lái)講，意在強(qiáng)化學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用） 板書： 一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，我們有a2+b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。 �。圻^(guò)程引導(dǎo)］ 師 這是一個(gè)很重要的不等式。對(duì)數(shù)學(xué)中重要的結(jié)論，我們應(yīng)仔細(xì)觀察、思考，才能挖掘出它的內(nèi)涵與外延。只有這樣，我們用它來(lái)解決問(wèn)題時(shí)才能得心應(yīng)手，也不會(huì)出錯(cuò)。 �。ㄍ瑢W(xué)們的思維再一次高度集中，似乎能從不等式a2+b2≥2ab中得出什么。此時(shí)，教師應(yīng)及時(shí)點(diǎn)撥、指引） 師 當(dāng)a＞0,b＞0時(shí)，請(qǐng)同學(xué)們思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b。 生 完全可以。 師 為什么？ 生 因?yàn)椴坏仁街械腶、b∈R。 師 很好，我們來(lái)看一下代替后的結(jié)果。 板書： 即 (a＞0,b＞0)。 師 這個(gè)不等式就是我們這節(jié)課要推導(dǎo)的基本不等式。它很重要，在數(shù)學(xué)的研究中有很多應(yīng)用，我們常把叫做正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)，把a(bǔ)b叫做正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)，即兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。 �。ù颂幰庠谝饘W(xué)生的重視，從不同的角度去理解） 師 請(qǐng)同學(xué)們嘗試一下，能否利用不等式及實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)來(lái)推導(dǎo)出這個(gè)不等式呢？ （此時(shí)，同學(xué)們信心十足，都說(shuō)能。教師利用投影片展示推導(dǎo)過(guò)程的填空形式） 要證：，① 只要證a+b≥2，② 要證②，只要證：a+b-2≥0，③ 要證③，只要證：④ 顯然④是成立的，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，④中的等號(hào)成立，這樣就又一次得到了基本不等式。 �。ù颂幰蕴羁盏男问�,突出體現(xiàn)了分析法證明的關(guān)鍵步驟，意在把思維的時(shí)空切實(shí)留給學(xué)生，讓學(xué)生在探究的基礎(chǔ)上去體會(huì)分析法的證明思路，加大了證明基本不等式的探究力度） �。酆献魈骄浚� 老師用投影儀給出下列問(wèn)題。 如圖，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，AC=a,BC=b。過(guò)點(diǎn)C作垂直于AB的弦DD′，連結(jié)AD、BD。你能利用這個(gè)圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？ �。ū竟�(jié)課開展到這里，學(xué)生從基本不等式的證明過(guò)程中已體會(huì)到證明不等式的常用方法，對(duì)基本不等式也已經(jīng)很熟悉，這就具備了探究這個(gè)問(wèn)題的知識(shí)與情感基礎(chǔ)） ［合作探究］ 師 同學(xué)們能找出圖中與a、b有關(guān)的線段嗎？ 生 可證△ACD ∽△BCD,所以可得。 生 由射影定理也可得。 師 這兩位同學(xué)回答得都很好，那ab與分別又有什么幾何意義呢？ 生表示半弦長(zhǎng)，表示半徑長(zhǎng)。 師 半徑和半弦又有什么關(guān)系呢？ 生 由半徑大于半弦可得。 師 這位同學(xué)回答得是否很嚴(yán)密？ 生 當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即當(dāng)a=b時(shí)可取等號(hào)，所以也可得出基本不等式 (a＞0,b＞0)。 課堂小結(jié) 師 本節(jié)課我們研究了哪些問(wèn)題？有什么收獲？ 生 我們通過(guò)觀察分析第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)得出了不等式a2+b2≥2ab。 生 由a2+b2≥2ab,當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，以、分別代替a、b，得到了基本不等式 (a＞0,b＞0)。進(jìn)而用不等式的性質(zhì)，由結(jié)論到條件，證明了基本不等式。 生 在圓這個(gè)幾何圖形中我們也能得到基本不等式。 �。ù颂�，創(chuàng)造讓學(xué)生進(jìn)行課堂小結(jié)的機(jī)會(huì)，目的是培養(yǎng)學(xué)生語(yǔ)言表達(dá)能力，也有利于課外學(xué)生歸納、總結(jié)等學(xué)習(xí)方法、能力的提高） 師 大家剛才總結(jié)得都很好，本節(jié)課我們從實(shí)際情景中抽象出基本不等式。并采用數(shù)形結(jié)合的思想，賦予基本不等式幾何直觀，讓大家進(jìn)一步領(lǐng)悟到基本不等式成立的條件是a＞0，b＞0，及當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立。在對(duì)不等式的證明過(guò)程中，體會(huì)到一些證明不等式常用的思路、方法。以后，同學(xué)們要注意數(shù)形結(jié)合的思想在解題中的靈活運(yùn)用。 布置作業(yè) 活動(dòng)與探究：已知a、b都是正數(shù)，試探索, ,,的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論。 分析：（方法一）由特殊到一般，用特殊值代入，先得到表達(dá)式的大小關(guān)系，再由不等式及實(shí)數(shù)的性質(zhì)證明。 �。ǚ椒ǘ﹦�(chuàng)設(shè)幾何直觀情景。設(shè)AC=a,BC=b，用a、b表示線段ＣＥ、ＯＥ、ＣＤ、ＤＦ的長(zhǎng)度，由ＣＥ＞ＯＥ＞ＣＤ＞ＤＦ可得。 板書設(shè)計(jì) 基本不等式的證明 一、實(shí)際情景引入得到重要不等式 a2＋b2≥2ab 二、定理 若a＞0，b＞0 課后作業(yè)： 證明過(guò)程探索： �。ㄒ唬┙虒W(xué)目標(biāo) 1．知識(shí)與技能:使學(xué)生感受到在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，在學(xué)生了解了一些不等式（組）產(chǎn)生的實(shí)際背景的前提下，學(xué)習(xí)不等式的有關(guān)內(nèi)容。 2.過(guò)程與方法:以問(wèn)題方式代替例題，學(xué)習(xí)如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有關(guān)基本性質(zhì)研究不等關(guān)系； 3．情態(tài)與價(jià)值：通過(guò)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的感受、體驗(yàn)、認(rèn)識(shí)狀況及理解程度，注重問(wèn)題情境、實(shí)際背景的的設(shè)置，通過(guò)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的探究思考，廣泛參與，改變學(xué)生學(xué)習(xí)方式，提高學(xué)習(xí)質(zhì)量。 �。ǘ┙虒W(xué)重、難點(diǎn) 重點(diǎn)：用不等式（組）表示實(shí)際問(wèn)題中的不等關(guān)系，并用不等式（組）研究含有不等關(guān)系的問(wèn)題，理解不等式（組）對(duì)于刻畫不等關(guān)系的意義和價(jià)值。 難點(diǎn)：用不等式（組）正確表示出不等關(guān)系。 �。ㄈ┙虒W(xué)設(shè)想 [創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境] 問(wèn)題1：設(shè)點(diǎn)A與平面的距離為d，B為平面上的任意一點(diǎn)，則d≤。 問(wèn)題2：某種雜志原以每本2.5元的價(jià)格銷售，可以售出8萬(wàn)本。根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若單價(jià)每提高0.1元，銷售量就可能相應(yīng)減少2000本。若把提價(jià)后雜志的定價(jià)設(shè)為x元，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬(wàn)元？ 分析：若雜志的定價(jià)為x元，則銷售的總收入為萬(wàn)元。那么不等關(guān)系“銷售的總收入不低于20萬(wàn)元”可以表示為不等式≥20 問(wèn)題3：某鋼鐵廠要把長(zhǎng)度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種，按照生產(chǎn)的要求，600mm鋼管的數(shù)量不能超過(guò)500mm鋼管的3倍。怎樣寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式呢？ 分析：假設(shè)截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管y根.. 根據(jù)題意，應(yīng)有如下的不等關(guān)系： �。�1）解得兩種鋼管的總長(zhǎng)度不能超過(guò)4000mm； �。�2）截得600mm鋼管的數(shù)量不能超過(guò)500mm鋼管數(shù)量的3倍； �。�3）解得兩鐘鋼管的數(shù)量都不能為負(fù)。 由以上不等關(guān)系，可得不等式組： [練習(xí)]第82頁(yè)，第1、2題。 [知識(shí)拓展] 設(shè)問(wèn)：等式性質(zhì)中：等式兩邊加（減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等。不等式是否也有類似的性質(zhì)呢？ 從實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)出發(fā)，可以證明下列常用的不等式的基本性質(zhì)： （1） �。�2） �。�3） �。�4） 證明： 例1講解（第82頁(yè)） [練習(xí)]第82頁(yè)，第3題。 [思考]：利用以上基本性質(zhì)，證明不等式的下列性質(zhì)： [小結(jié)]：1.現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系； 2.利用不等式的有關(guān)基本性質(zhì)研究不等關(guān)系； [作業(yè)]：習(xí)題3.1（第83頁(yè)）：（A組）4、5；（B組）2. 【教學(xué)目標(biāo)】 1.通過(guò)具體情境讓學(xué)生感受和體驗(yàn)現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、歸納、抽象，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)、走進(jìn)數(shù)學(xué)、改變學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度。 2．建立不等觀念，并能用不等式或不等式組表示不等關(guān)系。 3．了解不等式或不等式組的實(shí)際背景。 4.能用不等式或不等式組解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。 【重點(diǎn)難點(diǎn)】 重點(diǎn): �。�.通過(guò)具體的問(wèn)題情景，讓學(xué)生體會(huì)不等量關(guān)系存在的普遍性及研究的必要性。 �。�.用不等式或不等式組表示實(shí)際問(wèn)題中的不等關(guān)系，并用不等式或不等式組研究含有簡(jiǎn)單的不等關(guān)系的問(wèn)題。 3.理解不等式或不等式組對(duì)于刻畫不等關(guān)系的意義和價(jià)值。 難點(diǎn): 1.用不等式或不等式組準(zhǔn)確地表示不等關(guān)系。 2.用不等式或不等式組解決簡(jiǎn)單的含有不等關(guān)系的實(shí)際問(wèn)題。 【方法手段】 1.采用探究法，按照閱讀、思考、交流、分析，抽象歸納出數(shù)學(xué)模型，從具體到抽象再?gòu)某橄蟮骄唧w的方法進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)。 2.教師提供問(wèn)題、素材，并及時(shí)點(diǎn)撥，發(fā)揮老師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用。 3.設(shè)計(jì)教典型的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性。 【教學(xué)過(guò)程】 教學(xué)環(huán)節(jié) 教師活動(dòng) 學(xué)生活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖 導(dǎo)入新課 日常生活中，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了哪些數(shù)量關(guān)系。你能舉出一些例子嗎？ 實(shí)例1.某天的天氣預(yù)報(bào)報(bào)道，最高氣溫35℃，最低氣溫29℃。 實(shí)例2.若一個(gè)數(shù)是非負(fù)數(shù)，則這個(gè)數(shù)大于或等于零。 實(shí)例3.兩點(diǎn)之間線段最短。 實(shí)例4.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。 引導(dǎo)學(xué)生想生活中的例子和學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)中的例子。在老師的引導(dǎo)下，學(xué)生肯定會(huì)迫不及待的能說(shuō)出很多個(gè)例子來(lái)。即活躍了課堂氣氛，又激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。 推進(jìn)新課 同學(xué)們所舉的這些例子聯(lián)系了現(xiàn)實(shí)生活，又考慮到數(shù)學(xué)上常見的數(shù)量關(guān)系，非常好。而且大家已經(jīng)考慮到本節(jié)課的標(biāo)題《不等關(guān)系與不等式》，所舉的實(shí)例都是反映不等量的關(guān)系。 �。ㄏ旅胬秒娔X投影展示兩個(gè)實(shí)例） 實(shí)例5：限時(shí)40km/h的路標(biāo)，指示司機(jī)在前方路段行使時(shí)，應(yīng)使汽車的速度v不超過(guò)40km/h。 實(shí)例6：某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%. 同學(xué)們認(rèn)真觀看顯示屏幕上老師所舉的例子。 讓學(xué)生們邊看邊思考：生活中有許多的事情的描述可以采用不等的數(shù)量關(guān)系來(lái)描述 過(guò)程引導(dǎo) 能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)當(dāng)然很好，這說(shuō)明同學(xué)們已經(jīng)走進(jìn)了數(shù)學(xué)這門學(xué)科，但是我們還要能用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)、進(jìn)行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過(guò)程，那么我們用什么知識(shí)來(lái)表示這些不等關(guān)系呢？ 什么是不等式呢？ 用大屏幕展示一組不等式-7<-5;3+4>1+4;2x≤6;a+2≥0;3≠4. 能用不等式及不等式組把這些不等關(guān)系表示出來(lái)，也就是建立不等式數(shù)學(xué)模型的過(guò)程通過(guò)對(duì)不等式數(shù)學(xué)模型的研究，反過(guò)來(lái)作用于現(xiàn)實(shí)生活，這才是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最終目的。 思考并回答老師的問(wèn)題：可以用不等式或不等式組來(lái)表示不等關(guān)系。 經(jīng)過(guò)老師的啟發(fā)和點(diǎn)撥，學(xué)生可以自己總結(jié)出：用不等號(hào)將兩個(gè)解析試連接起來(lái)所成的式子叫不等式。 目的是讓學(xué)生回憶不等式的一些基本形式，并說(shuō)明不等號(hào)≤，≥的含義，是或的關(guān)系�；貞浟瞬坏仁降母拍�，不等式組學(xué)生自然而然就清楚了。 此時(shí)學(xué)生已經(jīng)迫不及待地想說(shuō)出自己的觀點(diǎn)了。 合作探究 （一）。下面我們把上述實(shí)例中的不等量的關(guān)系用不等式或不等式組一一的表示出來(lái)，那應(yīng)該怎么表示呢？ 這兩位同學(xué)的觀點(diǎn)是否正確？ 老師要表?yè)P(yáng)學(xué)生：“很好！這樣思考問(wèn)題很嚴(yán)密�！睉�(yīng)該用不等式組來(lái)表示此實(shí)際問(wèn)題中的不等量關(guān)系，也可以用“且”的形式來(lái)表達(dá)。 �。ǘ�。問(wèn)題一：設(shè)點(diǎn)A與平面的距離為d，B為平面上的任意一點(diǎn)。 請(qǐng)同學(xué)們用不等式或不等式組來(lái)表示出此問(wèn)題中的不等量的關(guān)系。 老師提示：借助于圖形，這個(gè)問(wèn)題是不是可以解決？ �。ㄏ旅孀寣W(xué)生板演，結(jié)合三角形草圖來(lái)表達(dá)） 問(wèn)題（二）：某種雜志原以每本2.5元的價(jià)格銷售，可以售出8萬(wàn)本，據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若單價(jià)每提高0.1元，銷售量就可能相應(yīng)減少2000本。若把提價(jià)后雜志的定價(jià)設(shè)為x元，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬(wàn)元呢？ 是不是還有其他的思路？ 為什么可以這樣設(shè)？ 很好，請(qǐng)繼續(xù)講。 這位學(xué)生回答的很好，表述得很準(zhǔn)確。請(qǐng)同學(xué)們對(duì)兩種解法作比較。 問(wèn)題（三）：某鋼鐵廠要把長(zhǎng)度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種，按照生產(chǎn)的要求，600mm鋼管的數(shù)量不超過(guò)500mm鋼管的3倍。怎樣寫出滿足上述所有不等式關(guān)系的不等式？ 假設(shè)截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管y根。根據(jù)題意，應(yīng)當(dāng)有什么樣的不等量關(guān)系呢？ 右邊的三個(gè)不等關(guān)系是“或”還是“且”的關(guān)系呢？ 這位學(xué)生回答得很好，思維很嚴(yán)密，那么該用怎樣的不等式組來(lái)表示此問(wèn)題中的不等關(guān)系呢？ 通過(guò)上述三個(gè)問(wèn)題的探究，同學(xué)們對(duì)如何用不等式或不等式組把實(shí)際問(wèn)題中隱藏的不等量關(guān)系表示出來(lái)，這一點(diǎn)掌握得很好。請(qǐng)同學(xué)們完成書本練習(xí)第74頁(yè)1，2。 課堂小結(jié)： 1.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以幫助我們解決實(shí)際生活中的問(wèn)題。 2.數(shù)學(xué)和我們的生活聯(lián)系非常密切。 3.本節(jié)課鞏固了二元一次不等式及二元一次不等式組，并且能用它來(lái)解決現(xiàn)實(shí)生活中存在的大量不等量關(guān)系的實(shí)際問(wèn)題。還要注意思維要嚴(yán)密，規(guī)范，并且要注意數(shù)形結(jié)合等思想方法的綜合應(yīng)用。 布置作業(yè)： 第75頁(yè)習(xí)題3.1 A組4，5。 29℃≤t≤35℃ x≥0 |AC|+|BC|>|AB| |AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|. |AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、 |AB|-|AC|<|BC|.交被減數(shù)與減數(shù)的位置也可以。 如果用表示速度，則v≤40km/h. f≥2.5%或p≥2.3% 學(xué)生自己糾正了錯(cuò)誤：這種表達(dá)是錯(cuò)誤的，因?yàn)閮蓚�(gè)不等量關(guān)系要同時(shí)滿足，所以應(yīng)該用不等式組來(lái)表示次實(shí)際問(wèn)題中的不等量關(guān)系，即可以表示為也可表示為f≥2.5%且p≥2.3%. 過(guò)點(diǎn)A作AC⊥平面于點(diǎn)C，則d=|AC|≤|AB| 可設(shè)雜志的定價(jià)為x元，則銷售量就減少萬(wàn)本。銷售量變?yōu)?8-)萬(wàn)本，則總收入為(8-)x萬(wàn)元。即銷售的總收入為不低于20萬(wàn)元的不等式表示為(8-)x≥20. 解法二：可設(shè)雜志的單價(jià)提高了0.1n元，（n） 我只考慮單價(jià)的增量。 那么銷售量減少了0.2n萬(wàn)本，單價(jià)為（2.5+0.1n）元，則也可得銷售的總收入為不低于20萬(wàn)元的不等式，表示為（2.5+0.1n）（8-0.2n）≥20. 截得兩種鋼管的總長(zhǎng)度不能超過(guò)4000mm。 截得600mm鋼管的數(shù)量不能超過(guò)500mm鋼管的3倍。 截得兩種鋼管的數(shù)量都不能為負(fù)數(shù)。 它們是同時(shí)滿足條件，應(yīng)該是且的關(guān)系。由實(shí)際問(wèn)題的意義，還應(yīng)有x,y要同時(shí)滿足上述三個(gè)不等關(guān)系，可以用下面的不等式組來(lái)表示： 如果學(xué)生沒(méi)有想到的話，老師可以在黑板上板演示意圖，啟發(fā)學(xué)生考慮三邊的大小關(guān)系。 此時(shí)啟發(fā)學(xué)生“或”字可以嗎？學(xué)生沒(méi)有了聲音，他們?cè)谒伎贾�。到底行不行呢？有的回答“行”，有的回答“不行”�?/p> 此時(shí)學(xué)生們?cè)谒伎�，時(shí)間長(zhǎng)的話，老師要及時(shí)點(diǎn)撥。 讓學(xué)生知道，在解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)該貫穿數(shù)形結(jié)合的思想，以形助數(shù)，下面有學(xué)生的聲音，有學(xué)生在討論，有的學(xué)生還有疑問(wèn)。老師注意關(guān)注學(xué)生的思維狀況，并且及時(shí)的加以指導(dǎo)。 此時(shí)學(xué)生已經(jīng)真正進(jìn)入本節(jié)課的學(xué)習(xí)狀態(tài)，老師再給出問(wèn)題（三）使學(xué)生一直處于跟隨老師積極思考和解決問(wèn)題的狀態(tài)。問(wèn)題是教學(xué)研究的核心，以問(wèn)題展示的形式來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)與探究意識(shí)。 【教學(xué)反思】(【設(shè)計(jì)說(shuō)明】) 本節(jié)課內(nèi)容很多，都是不等式和不等式組的有關(guān)問(wèn)題，還有很多是生活中的實(shí)例，學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)很感興趣，課堂的氣氛也很好，大多數(shù)學(xué)生都能很積極地回答問(wèn)題，使課堂的學(xué)習(xí)氣氛很濃，確實(shí)也做到了愉快教學(xué)。設(shè)計(jì)是按照老師引導(dǎo)式教學(xué)，邊講授邊引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)習(xí)思考問(wèn)題及能自己解決問(wèn)題，鍛煉學(xué)習(xí)能自主的學(xué)習(xí)能力。 【交流評(píng)析】 一是課堂容量適中，二是實(shí)例很好，接近生活，學(xué)生感興趣。三是學(xué)生回答問(wèn)題積極踴躍，和老師配合很好。四是多媒體應(yīng)用的恰到好處，教學(xué)設(shè)備很完善，老師也能很熟練的應(yīng)用。 教學(xué)分析 本節(jié)課的研究是對(duì)初中不等式學(xué)習(xí)的延續(xù)和拓展，也是實(shí)數(shù)理論的進(jìn)一步發(fā)展.在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中，將讓學(xué)生回憶實(shí)數(shù)的基本理論，并能用實(shí)數(shù)的基本理論來(lái)比較兩個(gè)代數(shù)式的大小. 通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生從一系列的具體問(wèn)題情境中，感受到在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，并充分認(rèn)識(shí)不等關(guān)系的存在與應(yīng)用.對(duì)不等關(guān)系的相關(guān)素材，用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、歸納、抽象，完成量與量的比較過(guò)程.即能用不等式或不等式組把這些不等關(guān)系表示出來(lái). 在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中還安排了一些簡(jiǎn)單的、學(xué)生易于處理的問(wèn)題，其用意在于讓學(xué)生注意對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的應(yīng)用，同時(shí)也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并由衷地產(chǎn)生用數(shù)學(xué)工具研究不等關(guān)系的愿望.根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用再現(xiàn)、回憶得出實(shí)數(shù)的基本理論，并能用實(shí)數(shù)的基本理論來(lái)比較兩個(gè)代數(shù)式的大小. 在本節(jié)教學(xué)中，教師可讓學(xué)生閱讀書中實(shí)例，充分利用數(shù)軸這一簡(jiǎn)單的數(shù)形結(jié)合工具，直接用實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從數(shù)與形兩方面建立實(shí)數(shù)的順序關(guān)系.要在溫故知新的基礎(chǔ)上提高學(xué)生對(duì)不等式的認(rèn)識(shí). 三維目標(biāo) 1.在學(xué)生了解不等式產(chǎn)生的實(shí)際背景下，利用數(shù)軸回憶實(shí)數(shù)的基本理論，理解實(shí)數(shù)的大小關(guān)系，理解實(shí)數(shù)大小與數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置間的關(guān)系. 2.會(huì)用作差法判斷實(shí)數(shù)與代數(shù)式的大小，會(huì)用配方法判斷二次式的大小和范圍. 3.通過(guò)溫故知新，提高學(xué)生對(duì)不等式的認(rèn)識(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，體會(huì)數(shù)學(xué)的奧秘與數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美. 重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：比較實(shí)數(shù)與代數(shù)式的大小關(guān)系，判斷二次式的大小和范圍. 教學(xué)難點(diǎn)：準(zhǔn)確比較兩個(gè)代數(shù)式的大小. 課時(shí)安排 1課時(shí) 教學(xué)過(guò)程 導(dǎo)入新課 思路1.(章頭圖導(dǎo)入)通過(guò)多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面，它將學(xué)生帶入“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中是大量存在的，由此產(chǎn)生用數(shù)學(xué)研究不等關(guān)系的強(qiáng)烈愿望，自然地引入新課. 思路2.(情境導(dǎo)入)列舉出學(xué)生身體的高矮、身體的輕重、距離學(xué)校路程的遠(yuǎn)近、百米賽跑的時(shí)間、數(shù)學(xué)成績(jī)的多少等現(xiàn)實(shí)生活中學(xué)生身邊熟悉的事例，描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系.這些不等關(guān)系怎樣在數(shù)學(xué)上表示出來(lái)呢?讓學(xué)生自由地展開聯(lián)想，教師組織不等關(guān)系的相關(guān)素材，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、歸納，使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系與相等關(guān)系一樣，在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中大量存在著.這樣學(xué)生會(huì)由衷地產(chǎn)生用數(shù)學(xué)工具研究不等關(guān)系的愿望，從而進(jìn)入進(jìn)一步的探究學(xué)習(xí)，由此引入新課. 推進(jìn)新課 新知探究 提出問(wèn)題 1回憶初中學(xué)過(guò)的不等式，讓學(xué)生說(shuō)出“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式研究及表示不等關(guān)系? 2在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中，既有相等關(guān)系，又存在著大量的不等關(guān)系.你能舉出一些實(shí)際例子嗎? 3數(shù)軸上的任意兩點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的兩實(shí)數(shù)具有怎樣的關(guān)系? 4任意兩個(gè)實(shí)數(shù)具有怎樣的關(guān)系?用邏輯用語(yǔ)怎樣表達(dá)這個(gè)關(guān)系? 活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶初中學(xué)過(guò)的不等式概念，使學(xué)生明確“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.不等關(guān)系強(qiáng)調(diào)的是關(guān)系，可用符號(hào)“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式則是表示兩者的不等關(guān)系，可用“a>b”“a 教師與學(xué)生一起舉出我們?nèi)粘Ｉ钪胁坏汝P(guān)系的例子，可讓學(xué)生充分合作討論，使學(xué)生感受到現(xiàn)實(shí)世界中存在著大量的不等關(guān)系.在學(xué)生了解了一些不等式產(chǎn)生的實(shí)際背景的前提下，進(jìn)一步學(xué)習(xí)不等式的有關(guān)內(nèi)容. 實(shí)例1：某天的天氣預(yù)報(bào)報(bào)道，最高氣溫32 ℃，最低氣溫26 ℃. 實(shí)例2：對(duì)于數(shù)軸上任意不同的兩點(diǎn)A、B，若點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，則xA 實(shí)例3：若一個(gè)數(shù)是非負(fù)數(shù)，則這個(gè)數(shù)大于或等于零. 實(shí)例4：兩點(diǎn)之間線段最短. 實(shí)例5：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊. 實(shí)例6：限速40 km/h的路標(biāo)指示司機(jī)在前方路段行駛時(shí)，應(yīng)使汽車的速度v不超過(guò)40 km/h. 實(shí)例7：某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%. 教師進(jìn)一步點(diǎn)撥：能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)當(dāng)然很好，這說(shuō)明同學(xué)們已經(jīng)走進(jìn)了數(shù)學(xué)這門學(xué)科，但作為我們研究數(shù)學(xué)的人來(lái)說(shuō)，能用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過(guò)程，這是我們每個(gè)研究數(shù)學(xué)的人必須要做的，那么，我們可以用我們所研究過(guò)的什么知識(shí)來(lái)表示這些不等關(guān)系呢?學(xué)生很容易想到，用不等式或不等式組來(lái)表示這些不等關(guān)系.那么不等式就是用不等號(hào)將兩個(gè)代數(shù)式連結(jié)起來(lái)所成的式子.如-7<-5，3+4>1+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等. 教師引導(dǎo)學(xué)生將上述的7個(gè)實(shí)例用不等式表示出來(lái).實(shí)例1，若用t表示某天的氣溫，則26 ℃≤t≤32 ℃.實(shí)例3，若用x表示一個(gè)非負(fù)數(shù)，則x≥0.實(shí)例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下圖. |AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|. |AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、|AB|-|AC|<|BC|.交換被減數(shù)與減數(shù)的位置也可以. 實(shí)例6，若用v表示速度，則v≤40 km/h.實(shí)例7，f≥2.5%，p≥2.3%.對(duì)于實(shí)例7，教師應(yīng)點(diǎn)撥學(xué)生注意酸奶中的脂肪含量與蛋白質(zhì)含量需同時(shí)滿足，避免寫成f≥2.5%或p≥2.3%，這是不對(duì)的.但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%. 對(duì)以上問(wèn)題，教師讓學(xué)生輪流回答，再用投影儀給出課本上的兩個(gè)結(jié)論. 討論結(jié)果： (1)(2)略;(3)數(shù)軸上任意兩點(diǎn)中，右邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)比左邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)大. (4)對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a和b，在a=b，a>b，a0a>b;a-b=0a=b;a-b<0a 應(yīng)用示例 例1(教材本節(jié)例1和例2) 活動(dòng)：通過(guò)兩例讓學(xué)生熟悉兩個(gè)代數(shù)式的大小比較的基本方法：作差，配方法. 點(diǎn)評(píng)：本節(jié)兩例的求解，是借助因式分解和應(yīng)用配方法完成的，這兩種方法是代數(shù)式變形時(shí)經(jīng)常使用的方法，應(yīng)讓學(xué)生熟練掌握. 變式訓(xùn)練 1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是( ) A.f(x)>g(x) B.f(x)=g(x) C.f(x) 答案：A 解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x). 2.已知x≠0，比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小. 解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2. ∵x≠0，得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1. 例2比較下列各組數(shù)的大小(a≠b). (1)a+b2與21a+1b(a>0，b>0); (2)a4-b4與4a3(a-b). 活動(dòng)：比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，常根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系，歸結(jié)為判斷它們的差的符號(hào)來(lái)確定.本例可由學(xué)生獨(dú)立完成，但要點(diǎn)撥學(xué)生在最后的符號(hào)判斷說(shuō)理中，要理由充分，不可忽略這點(diǎn). 解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b. ∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0，即a+b2>21a+1b. (2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b) =(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)] =-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2]. ∵2a2+(a+b)2≥0(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時(shí)取等號(hào))， 又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]<0. ∴a4-b4<4a3(a-b). 點(diǎn)評(píng)：比較大小常用作差法，一般步驟是作差——變形——判斷符號(hào).變形常用的手段是分解因式和配方，前者將“差”變?yōu)椤胺e”，后者將“差”化為一個(gè)或幾個(gè)完全平方式的“和”，也可兩者并用. 變式訓(xùn)練 已知x>y，且y≠0，比較xy與1的大小. 活動(dòng)：要比較任意兩個(gè)數(shù)或式的大小關(guān)系，只需確定它們的差與0的大小關(guān)系. 解：xy-1=x-yy. ∵x>y，∴x-y>0. 當(dāng)y<0時(shí)，x-yy<0，即xy-1<0. ∴xy<1; 當(dāng)y>0時(shí)，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1. 點(diǎn)評(píng)：當(dāng)字母y取不同范圍的值時(shí)，差xy-1的正負(fù)情況不同，所以需對(duì)y分類討論. 例3建筑設(shè)計(jì)規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%，且這個(gè)比值越大，住宅的采光條件越好.試問(wèn)：同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件是變好了，還是變壞了?請(qǐng)說(shuō)明理由. 活動(dòng)：解題關(guān)鍵首先是把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，然后比較前后比值的大小，采用作差法. 解：設(shè)住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b，同時(shí)增加的面積為m，根據(jù)問(wèn)題的要求a 由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%， 因此a+mb+m>ab≥10%. 所以同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積后，住宅的采光條件變好了. 點(diǎn)評(píng)：一般地，設(shè)a、b為正實(shí)數(shù)，且a0，則a+mb+m>ab. 變式訓(xùn)練 已知a1，a2，…為各項(xiàng)都大于零的等比數(shù)列，公比q≠1，則( ) A.a1+a8>a4+a5 B.a1+a8 C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8與a4+a5大小不確定 答案：A 解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4 =a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2). ∵{an}各項(xiàng)都大于零，∴q>0，即1+q>0. 又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5. 知能訓(xùn)練 1.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的個(gè)數(shù)為( ) A.3 B.2 C.1 D.0 2.比較2x2+5x+9與x2+5x+6的大小. 答案： 1.C解析：∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0， ③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0. ∴只有①恒成立. 2.解：因?yàn)?x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0， 所以2x2+5x+9>x2+5x+6. 課堂小結(jié) 1.教師與學(xué)生共同完成本節(jié)課的小結(jié)，從實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)的回顧，到兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較方法;從例題的活動(dòng)探究點(diǎn)評(píng)，到緊跟著的變式訓(xùn)練，讓學(xué)生去繁就簡(jiǎn)，聯(lián)系舊知，將本節(jié)課所學(xué)納入已有的知識(shí)體系中. 2.教師畫龍點(diǎn)睛，點(diǎn)撥利用實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)對(duì)兩個(gè)實(shí)數(shù)大小比較時(shí)易錯(cuò)的地方.鼓勵(lì)學(xué)有余力的學(xué)生對(duì)節(jié)末的思考與討論在課后作進(jìn)一步的探究. 作業(yè) 習(xí)題3—1A組3;習(xí)題3—1B組2. 設(shè)計(jì)感想 1.本節(jié)設(shè)計(jì)關(guān)注了教學(xué)方法的優(yōu)化.經(jīng)驗(yàn)告訴我們：課堂上應(yīng)根據(jù)具體情況，選擇、設(shè)計(jì)最能體現(xiàn)教學(xué)規(guī)律的教學(xué)過(guò)程，不宜長(zhǎng)期使用一種固定的教學(xué)方法，或原封不動(dòng)地照搬一種實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｊ?各種教學(xué)方法中，沒(méi)有一種能很好地適應(yīng)一切教學(xué)活動(dòng).也就是說(shuō)，世上沒(méi)有萬(wàn)能的教學(xué)方法.針對(duì)個(gè)性，靈活變化，因材施教才是成功的施教靈藥. 2.本節(jié)設(shè)計(jì)注重了難度控制.不等式內(nèi)容應(yīng)用面廣，可以說(shuō)與其他所有內(nèi)容都有交匯，歷來(lái)是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn).作為本章開始，可以適當(dāng)開闊一些，算作拋磚引玉，讓學(xué)生有個(gè)自由探究聯(lián)想的平臺(tái)，但不宜過(guò)多向外拓展，以免對(duì)學(xué)生產(chǎn)生負(fù)面影響. 3.本節(jié)設(shè)計(jì)關(guān)注了學(xué)生思維能力的訓(xùn)練.訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，提升思維的品質(zhì)，是數(shù)學(xué)教師直面的重要課題，也是中學(xué)數(shù)學(xué)教育的主線.采用一題多解有助于思維的發(fā)散性及靈活性，克服思維的僵化.變式訓(xùn)練教學(xué)又可以拓展學(xué)生思維視野的廣度，解題后的點(diǎn)撥反思有助于學(xué)生思維批判性品質(zhì)的提升. 備課資料 備用習(xí)題 1.比較(x-3)2與(x-2)(x-4)的大小. 2.試判斷下列各對(duì)整式的大�。�(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1. 3.已知x>0，求證：1+x2>1+x . 4.若x 5.設(shè)a>0，b>0，且a≠b，試比較aabb與abba的大小. 參考答案： 1.解：∵(x-3)2-(x-2)(x-4) =(x2-6x+9)-(x2-6x+8) =1>0， ∴(x-3)2>(x-2)(x-4). 2.解：(1)(m2-2m+5)-(-2m+5) =m2-2m+5+2m-5 =m2. ∵m2≥0，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0. ∴m2-2m+5≥-2m+5. (2)(a2-4a+3)-(-4a+1) =a2-4a+3+4a-1 =a2+2. ∵a2≥0，∴a2+2≥2>0. ∴a2-4a+3>-4a+1. 3.證明：∵(1+x2)2-(1+x)2 =1+x+x24-(x+1) =x24， 又∵x>0，∴x24>0. ∴(1+x2)2>(1+x)2. 由x>0，得1+x2>1+x. 4.解：(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y) =(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2] =-2xy(x-y). ∵x0，x-y<0. ∴-2xy(x-y)>0. ∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y). 5.解：∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b，且a≠b， 當(dāng)a>b>0時(shí)，ab>1，a-b>0， 則(ab)a-b>1，于是aabb>abba. 當(dāng)b>a>0時(shí)，0 則(ab)a-b>1. 于是aabb>abb a. 綜上所述，對(duì)于不相等的正數(shù)a、b，都有aabb>abba. 【基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)（通用8篇）】相關(guān)文章： 基本不等式教學(xué)反思10-21 基本不等式教學(xué)反思11篇12-26 基本不等式教學(xué)反思11篇12-26 公民基本權(quán)利教學(xué)設(shè)計(jì)04-28 《比例的基本性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計(jì)03-31 不等式的8條基本性質(zhì)是什么10-12 基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)3
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