論文：臨界常見(jiàn)保費(fèi)效用函數(shù)
論文關(guān)鍵詞:效用函數(shù)臨界保費(fèi)理賠
論文摘要:根據(jù)保險(xiǎn)人保險(xiǎn)定價(jià)的效用方程,分別討論了在3種不同效用函數(shù)下的臨界保費(fèi).
從管理決策的角度看,保險(xiǎn)產(chǎn)品的定價(jià)問(wèn)題、準(zhǔn)備金提留問(wèn)題、再保險(xiǎn)自留額問(wèn)題以及資產(chǎn)負(fù)債配比問(wèn)題都是風(fēng)險(xiǎn)和不確定條件下的決策.從風(fēng)險(xiǎn)決策的理論和實(shí)踐知道,合理的決策不僅取決于對(duì)外在環(huán)境的不確定的把握,而且取決于決策者對(duì)自身的價(jià)值結(jié)構(gòu)判斷.在保險(xiǎn)學(xué)中,通過(guò)引入效用函數(shù)來(lái)描述決策者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度、偏好和價(jià)值結(jié)構(gòu),并將它與潛在損失或理賠的概率評(píng)估有機(jī)結(jié)合起來(lái),從更加綜合的角度尋求諸多保險(xiǎn)決策問(wèn)題的解.
一般地,決策者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度被分為三種類型:風(fēng)險(xiǎn)偏好、風(fēng)險(xiǎn)厭惡和風(fēng)險(xiǎn)中立,分別對(duì)應(yīng)著他們的效用函數(shù)u(x)的曲線為上凸、下凸和直線三種情況.最普遍的情況是厭惡風(fēng)險(xiǎn),本文重點(diǎn)討論此種情況.
1保險(xiǎn)定價(jià)問(wèn)題
引理1(Jensen不等式)設(shè)決策者的風(fēng)險(xiǎn)是厭惡風(fēng)險(xiǎn),即它的效用函數(shù)u(x)滿足u′(x)>0,u″(x)<0,則對(duì)于隨機(jī)變量X,成立如下不等式E[u(X)]≤u[E(X)].
假定決策者(保險(xiǎn)人)擁有財(cái)富W.若要承保,則可以在原有財(cái)富W的`基礎(chǔ)上增加一筆保費(fèi)收入G,但是得替被保險(xiǎn)人承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn),其財(cái)富變成了隨機(jī)變量W+G-X,其中隨機(jī)變量X表示風(fēng)險(xiǎn),其概率分布為F(x).若不承保,則保險(xiǎn)人確定地?fù)碛胸?cái)富W.設(shè)保險(xiǎn)人關(guān)于確定量和關(guān)于隨機(jī)變量分布的效用函數(shù)分別為u(x)和U[X],則對(duì)保險(xiǎn)人而言,“合理”的承保保費(fèi)應(yīng)滿足不等式U[W+G-X]≥u(W).G越小,要承保的效用U[W+G-X]越小,當(dāng)G小到使等號(hào)成立時(shí),承保已無(wú)任何吸引力,所以保險(xiǎn)人愿意接受的最底保費(fèi)G*是使得上式等號(hào)成立的臨界值,稱為臨界保費(fèi).
根據(jù)期望效用原理,隨機(jī)變量X的“效用”U[X]可以轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量函數(shù)u(X)的期望,即
U([X])=E[u(X)]=∫Du(x)dF(x).
其中F(x)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù),D是隨機(jī)變量X的取值范圍.
2主要結(jié)論
對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)決策者常用的效用函數(shù)有以下幾種:直線型效用函數(shù)、拋物線型效用函數(shù)、指數(shù)型效用函數(shù)、對(duì)數(shù)型效用函數(shù)和分?jǐn)?shù)冪型效用函數(shù)等.下面給出前3種情況下的臨界保費(fèi).命題
1設(shè)保險(xiǎn)人的效用函數(shù)為直線型,
u(x)=ax+b,理賠X的概率分布為F(x),則臨界保費(fèi)G*=E[X].
證明考慮保險(xiǎn)人定價(jià)的效用方程為
U([W+G*-X])=u(W).
∵U([W+G*-X])=E[u(W+G*-X)]
=E[a(W+G*-X)+b]
=aW+aG*-aE[X]+b,
u(W)=aW+b,
聯(lián)立兩式得G*=E[X].
命題1說(shuō)明對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度中立的決策者來(lái)說(shuō),臨界保費(fèi)即是純保費(fèi),但這只是一種理想的情況.命題2設(shè)保險(xiǎn)人的效用函數(shù)為拋物線型,u(x)=x-αx2,其中α>0,0<x<12α,并且假設(shè)理賠X的概率分布為F(x),則此時(shí)臨界保費(fèi)為
G*=E[X]+(12α-W)-(12α-W)2-σ2(X).
證明考慮保險(xiǎn)人定價(jià)的效用方程為
U([W+G*-X])=u(W).
∵U([(W+G*-X])=E[u(W+G*-X)]
=12α0[(W+G*-X)-α(W+G*-X)2]dF(x)
=W+G*-E[X]-α{(W+G*)2-2(W+G*)×E[X]+E[x2]},
u(W)=W-αW2,
聯(lián)立兩式得下列方程
-α(G*)2+(1-2αW+2αE[X])G*+(2αW-1)E[X]-αE[X2]=0.
解關(guān)于G*的一元二次方程得
G*=2αw-1-2αE[X]+(1-2αW)2-4α2σ2(X)-2α
=E[X]+(12α-W)-(12α-W)2-σ2(X).
特別地,當(dāng)W=0時(shí),
G*=E[X]+12α-(12α)2-σ2(X)
≈E[X]+ασ2(X),轉(zhuǎn)
此時(shí)σ2(X)12α.這正是非壽險(xiǎn)保費(fèi)定價(jià)中的“方差原理”,因?yàn)樵诮鹑诜治鲋谐Ｓ梅讲?或標(biāo)準(zhǔn)差)來(lái)度量風(fēng)險(xiǎn)的大小,方差越大,不確定的程度越大.保險(xiǎn)人把它作為一條加費(fèi)的理由,因而在純保費(fèi)E[X]的基礎(chǔ)上又多了一項(xiàng)“安全附加費(fèi)用”.
命題3設(shè)保險(xiǎn)人的效有函數(shù)為指數(shù)型,u(x)=-e-αx,α>0,假設(shè)理賠X的概率分布為F(x),則此時(shí)臨界保費(fèi)為G*=1αlnMX(α),其中MX(α)為理賠隨機(jī)變量X的矩母函數(shù).證明考慮保險(xiǎn)人定價(jià)的效用方程為
U([W+G*-X])=u(W).
∵U([W+G*-X])=E(u[W+G*-X])
=+∞0-e-α(W+G-X*)dF(x)
=-e-α(W+G*)+∞0eαxdF(x)
=-e-α(W+G)*MX(α),
u(W)=-eαW,
聯(lián)立兩式得G*=1αMX(α).
可以看出對(duì)于這類特殊的效用函數(shù),臨界保費(fèi)與保險(xiǎn)人所擁有的財(cái)富大小無(wú)關(guān).
3總結(jié)
效用理論一直是研究在風(fēng)險(xiǎn)和不確定條件下進(jìn)行合理決策的理論基礎(chǔ),保險(xiǎn)研究之中除保險(xiǎn)定價(jià)以外,決定合理的準(zhǔn)備金、自留額以及選擇合理的財(cái)務(wù)方案都可以以此作為決策的原理.因此,它具有很強(qiáng)的理論指導(dǎo)作用.
從以上幾個(gè)例子可以看出,實(shí)際保險(xiǎn)定價(jià)中常用的“均值原理”和“方差原理”等只不過(guò)是期望效用的特殊形式,它們對(duì)應(yīng)著一次、二次多項(xiàng)式等簡(jiǎn)單的效用函數(shù).類似地,還可以討論對(duì)數(shù)效用函數(shù)u(x)=lnx、分?jǐn)?shù)冪效用函數(shù)u(x)=xr(0<r<1)等其他常見(jiàn)效用函數(shù)所對(duì)應(yīng)的情況.
參考文獻(xiàn)
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