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全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題5及答案
全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題（五）
第一試
一、 選擇題：（每小題6分，共36分）
1、空間中n（n≥3）個(gè)平面，其中任意三個(gè)平面無公垂面．那么，下面四個(gè)
結(jié)論
�。�1） 沒有任何兩個(gè)平面互相平行；
（2） 沒有任何三個(gè)平面相交于一條直線； （3） 平面間的任意兩條交線都不平行；
�。�4） 平面間的每一條交線均與n 2個(gè)平面相交． 其中，正確的個(gè)數(shù)為 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4
2、若函數(shù)y=f(x)在[a,b]上的一段圖像可以近似地看作直線段，則當(dāng)c∈(a,b)
時(shí)，f(c)的近似值可表示為
（A）
f a f b
2
a b
�。˙）f
2
�。–）
b c f a c a f b
b a（D）f a
c a
f b f a b a
3、設(shè)a＞b＞c，a+b+c=1，且a2+b2+c2=1，則
�。ˋ）a+b＞1 （B）a+b=1 （C）a+b＜1 （D）不能確定，與a、b的具體取值有關(guān)
x2y2 3
4、設(shè)橢圓2 2 1的離心率e ，已知點(diǎn)P 0, 到橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)
2ab 2 7
，則短半軸之長(zhǎng)b= 4
1111
�。ˋ） （B） （C） （D）
48216
5、S={1,2,…,2003}，A是S的三元子集，滿足：A中的所有元素可以組成等
差數(shù)列．那么，這樣的三元子集A的個(gè)數(shù)是
距離是
（A）C32003
22
�。˙）C1001 C1002
22
�。–）A1001 A1002（D）A32003
6、長(zhǎng)方體ABCD A1B1C1D1，AC1為體對(duì)角線．現(xiàn)以A為球心，AB、AD、AA1、AC1為半徑作四個(gè)同心球，其體積依次為V1、V2、V3、V4，則有 （A）V4＜V1+V2+V3 （B）V4=V1+V2+V3 （C）V4＞V1+V2+V3 （D）不能確定，與長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)有關(guān)
二、 填空題：（每小題9分，共54分）
sin3 cos3
1、已知 k，則k的取值范圍為 ．
sin cos 2、等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=8，且存在惟一的k使得點(diǎn)(k,ak)在圓x2+y2=102上，則這樣的等差數(shù)列共有 個(gè)．
a
3、在四面體P ABC中，PA=PB=a，PC=AB=BC=CA=b，且a＜b，則的取
b
值范圍為 ．
4、動(dòng)點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=4(cos +isin )，定點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作AB的垂線交OA與D，則D所在的軌跡方程為 ． 5、 3k被8所除得的余數(shù)為 ．
k 12003
6、圓周上有100個(gè)等分點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)組成的鈍角三角形的個(gè)數(shù)為．
三、 （20分）
已知拋物線y2=2px(p＞0)的一條長(zhǎng)為l的弦AB．求AB中點(diǎn)M到y(tǒng)
軸的最短距離，并求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．
四、 （20分）
單位正方體ABCD A1B1C1D1中，正方形ABCD的中心為點(diǎn)M，正方形A1B1C1D1的中心為點(diǎn)N，連AN、B1M． （1）求證：AN、B1M為異面直線； （2）求出AN與B1M的夾角．
五、 （20分）
對(duì)正實(shí)數(shù)a、b、c．求證：
a2 8bcb2 8acc2 8ab
≥9．
abc
第二試
一、 （50分）
設(shè)ABCD是面積為2的長(zhǎng)方形，P為邊CD上的一點(diǎn)，Q為△PAB的內(nèi)切圓與邊AB的切點(diǎn)．乘積PA·PB的值隨著長(zhǎng)方形ABCD及點(diǎn)P的變化而變化，當(dāng)PA·PB取最小值時(shí)， （1）證明：AB≥2BC； （2）求AQ·BQ的值．
二、 （50分）
給定由正整數(shù)組成的數(shù)列
a1 1,a2 2
�。╪≥1）．
an 2 an 1 an
�。�1）求證：數(shù)列相鄰項(xiàng)組成的無窮個(gè)整點(diǎn)
(a1,a2)，(a3,a4)，…，(a2k-1,a2k)，…
均在曲線x2+xy y2+1=0上．
（2）若設(shè)f(x)=xn+xn-1 anx an-1，g(x)=x2 x 1，證明：g(x)整除f(x)．
三、 （50分）
我們稱A1,A2,…,An為集合A的一個(gè)n分劃，如果 （1）A1 A2 An A； （2）Ai Aj ，1≤i＜j≤n．
求最小正整數(shù)m，使得對(duì)A＝{1,2,…,m}的任意一個(gè)13分劃A1,A2,…,A13，一定存在某個(gè)集合Ai(1≤i≤13)，在Ai中有兩個(gè)元素a、b
9
滿足b＜a≤b．
8
參考答案
第一試
二、填空題：
1 1
1、 1, ,1 ；
2 2
2、17；
2
x 1 4、
3、 2 3,1 ；
5、4；
4
y2
1； 3
6、117600．
l2 l2
,0 ,0 l 2p,M 8p8p
三、 ．
l ppl l p,l 2p,M 2
2,2 p 2
四、（1）證略；
五、證略．
�。�2）arccos
2． 3
第二試
一、（1）證略（提示：用面積法，得PA·PB最小值為2，此時(shí)∠APB＝90°）； （2）AQ·BQ=1．
二、證略（提示：用數(shù)學(xué)歸納法）．
三、m=117．
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