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函數(shù)知識點(diǎn)

時(shí)間:2024-03-01 20:21:39 好文 我要投稿

[精選]函數(shù)知識點(diǎn)

  在平平淡淡的學(xué)習(xí)中,大家都背過不少知識點(diǎn),肯定對知識點(diǎn)非常熟悉吧!知識點(diǎn)是知識中的最小單位,最具體的內(nèi)容,有時(shí)候也叫“考點(diǎn)”。你知道哪些知識點(diǎn)是真正對我們有幫助的嗎?以下是小編為大家整理的函數(shù)知識點(diǎn),供大家參考借鑒,希望可以幫助到有需要的朋友。

[精選]函數(shù)知識點(diǎn)

函數(shù)知識點(diǎn)1

  一、指數(shù)函數(shù)

  (一)指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算

  1.根式的概念:一般地,如果,那么叫做的次方根(nthroot),其中1,且*.

  當(dāng)是奇數(shù)時(shí),正數(shù)的次方根是一個(gè)正數(shù),負(fù)數(shù)的次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).此時(shí),的次方根用符號表示.式子叫做根式(radical),這里叫做根指數(shù)(radicalexponent),叫做被開方數(shù)(radicand).

  當(dāng)是偶數(shù)時(shí),正數(shù)的次方根有兩個(gè),這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).此時(shí),正數(shù)的正的次方根用符號表示,負(fù)的次方根用符號-表示.正的次方根與負(fù)的次方根可以合并成(0).由此可得:負(fù)數(shù)沒有偶次方根;0的任何次方根都是0,記作。

  注意:當(dāng)是奇數(shù)時(shí),,當(dāng)是偶數(shù)時(shí),

  2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

  正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義,規(guī)定:

  0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義

  指出:規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后,指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù),那么整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪.

  3.實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)

  (二)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

  1、指數(shù)函數(shù)的概念:一般地,函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)(exponential),其中x是自變量,函數(shù)的定義域?yàn)镽.

  注意:指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍,底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1.

  2、指數(shù)函數(shù)的'圖象和性質(zhì)

  a1

  圖象特征

  函數(shù)性質(zhì)

  向x、y軸正負(fù)方向無限延伸

  函數(shù)的定義域?yàn)镽

  圖象關(guān)于原點(diǎn)和y軸不對稱

  非奇非偶函數(shù)

  函數(shù)圖象都在x軸上方

  函數(shù)的值域?yàn)镽+

  函數(shù)圖象都過定點(diǎn)(0,1)

  自左向右看,

  圖象逐漸上升

  自左向右看,

  圖象逐漸下降

  增函數(shù)

  減函數(shù)

  在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1

  在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1

  在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1

  在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1

  圖象上升趨勢是越來越陡

  圖象上升趨勢是越來越緩

  函數(shù)值開始增長較慢,到了某一值后增長速度極快;

  函數(shù)值開始減小極快,到了某一值后減小速度較慢;

  注意:利用函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合圖象還可以看出:

  (1)在[a,b]上,值域是或;

  (2)若,則;取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng);

  (3)對于指數(shù)函數(shù),總有;

  (4)當(dāng)時(shí),若,則;

  二、對數(shù)函數(shù)

  (一)對數(shù)

  1.對數(shù)的概念:一般地,如果,那么數(shù)叫做以為底的對數(shù),記作:(底數(shù),真數(shù),對數(shù)式)

  說明:1注意底數(shù)的限制,且;

  2;

  3注意對數(shù)的書寫格式.

  兩個(gè)重要對數(shù):

  1常用對數(shù):以10為底的對數(shù);

  2自然對數(shù):以無理數(shù)為底的對數(shù)的對數(shù).

  對數(shù)式與指數(shù)式的互化

  對數(shù)式指數(shù)式

  對數(shù)底數(shù)冪底數(shù)

  對數(shù)指數(shù)

  真數(shù)冪

  (二)對數(shù)函數(shù)

  1、對數(shù)函數(shù)的概念:函數(shù),且叫做對數(shù)函數(shù),其中是自變量,函數(shù)的定義域是(0,+).

  注意:1對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似,都是形式定義,注意辨別。

  如:,都不是對數(shù)函數(shù),而只能稱其為對數(shù)型函數(shù).

  2對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制:,且.

  2、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì):

  a1

  圖象特征

  函數(shù)性質(zhì)

  函數(shù)圖象都在y軸右側(cè)

  函數(shù)的定義域?yàn)?0,+)

  圖象關(guān)于原點(diǎn)和y軸不對稱

  非奇非偶函數(shù)

  向y軸正負(fù)方向無限延伸

  函數(shù)的值域?yàn)镽

  函數(shù)圖象都過定點(diǎn)(1,0)

  自左向右看,

  圖象逐漸上升

  自左向右看,

  圖象逐漸下降

  增函數(shù)

  減函數(shù)

  第一象限的圖象縱坐標(biāo)都大于0

  第一象限的圖象縱坐標(biāo)都大于0

  第二象限的圖象縱坐標(biāo)都小于0

  第二象限的圖象縱坐標(biāo)都小于0

  (三)冪函數(shù)

  1、冪函數(shù)定義:一般地,形如的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中為常數(shù).

  2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納.

  (1)所有的冪函數(shù)在(0,+)都有定義,并且圖象都過點(diǎn)(1,1);

  (2)時(shí),冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn),并且在區(qū)間上是增函數(shù).特別地,當(dāng)時(shí),冪函數(shù)的圖象下凸;當(dāng)時(shí),冪函數(shù)的圖象上凸;

  (3)時(shí),冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù).在第一象限內(nèi),當(dāng)從右邊趨向原點(diǎn)時(shí),圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸,當(dāng)趨于時(shí),圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸.

函數(shù)知識點(diǎn)2

  反比例函數(shù)

  y=k/x(k≠0)的圖象叫做雙曲線.

  當(dāng)k>0時(shí),雙曲線在一、三象限(在每一象限內(nèi),從左向右降);

  當(dāng)k<0時(shí),雙曲線在二、四象限(在每一象限內(nèi),從左向右上升).

  因此,它的增減性與一次函數(shù)相反.

  以上對反比例函數(shù)知識點(diǎn)的講解,相信同學(xué)們能很好的掌握了,希望同學(xué)們能很好的學(xué)習(xí)知識點(diǎn)。

  初中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié):平面直角坐標(biāo)系

  下面是對平面直角坐標(biāo)系的內(nèi)容學(xué)習(xí),希望同學(xué)們很好的掌握下面的內(nèi)容。

  平面直角坐標(biāo)系

  平面直角坐標(biāo)系:在平面內(nèi)畫兩條互相垂直、原點(diǎn)重合的數(shù)軸,組成平面直角坐標(biāo)系。

  水平的數(shù)軸稱為x軸或橫軸,豎直的數(shù)軸稱為y軸或縱軸,兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。

  平面直角坐標(biāo)系的要素:①在同一平面②兩條數(shù)軸③互相垂直④原點(diǎn)重合

  三個(gè)規(guī)定:

 、僬较虻囊(guī)定橫軸取向右為正方向,縱軸取向上為正方向

 、趩挝婚L度的規(guī)定;一般情況,橫軸、縱軸單位長度相同;實(shí)際有時(shí)也可不同,但同一數(shù)軸上必須相同。

  ③象限的規(guī)定:右上為第一象限、左上為第二象限、左下為第三象限、右下為第四象限。

  相信上面對平面直角坐標(biāo)系知識的講解學(xué)習(xí),同學(xué)們已經(jīng)能很好的掌握了吧,希望同學(xué)們都能考試成功。

  初中數(shù)學(xué)一次函數(shù)知識點(diǎn)

  1、函數(shù)概念:在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x、y,如果對于x的每一個(gè)值,y都有惟一的值與它對應(yīng),那么就說x是自變量,y是x的函數(shù)。

  2、一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念

  若兩個(gè)變量x,y間的關(guān)系式可以表示成y=kx+b(k,b為常數(shù),k0)的形式,則稱y是x的一次函數(shù)(x為自變量),特別地,當(dāng)b=0時(shí),稱y是x的正比例函數(shù)。

  說明:(1)一次函數(shù)的自變量的取值范圍是一切實(shí)數(shù),但在實(shí)際問題中要根據(jù)函數(shù)的實(shí)際意義來確定。

  (2)一次函數(shù)y=kx+b(k,b為常數(shù),b0)中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意義相同,即自變量x的次數(shù)為1,一次項(xiàng)系數(shù)k必須是不為零的常數(shù),b可為任意常數(shù)。

  (3)當(dāng)b=0,k0時(shí),y=b仍是一次函數(shù)。

  (4)當(dāng)b=0,k=0時(shí),它不是一次函數(shù)。

  3、一次函數(shù)的圖象(三步畫圖象)

  由于一次函數(shù)y=kx+b(k,b為常數(shù),k0)的圖象是一條直線,所以一次函數(shù)y=kx+b的圖象也稱為直線y=kx+b.

  由于兩點(diǎn)確定一條直線,因此在今后作一次函數(shù)圖象時(shí),只要描出適合關(guān)系式的兩點(diǎn),再連成直線即可,一般選取兩個(gè)特殊點(diǎn):直線與y軸的'交點(diǎn)(0,b),直線與x軸的交點(diǎn)(—,0)。但也不必一定選取這兩個(gè)特殊點(diǎn)。畫正比例函數(shù)y=kx的圖象時(shí),只要描出點(diǎn)(0,0),(1,k)即可。

  4、一次函數(shù)y=kx+b(k,b為常數(shù),k0)的性質(zhì)(正比例函數(shù)的性質(zhì)略)

  (1)k的正負(fù)決定直線的傾斜方向;①k>0時(shí),y的值隨x值的增大而增大;

 、趉

  (2)|k|大小決定直線的傾斜程度,即|k|越大,直線與x軸相交的銳角度數(shù)越大(直線陡),|k|越小,直線與x軸相交的銳角度數(shù)越小(直線緩);

  (3)b的正、負(fù)決定直線與y軸交點(diǎn)的'位置;

 、佼(dāng)b>0時(shí),直線與y軸交于正半軸上;

 、诋(dāng)b<0時(shí),直線與y軸交于負(fù)半軸上;

  ③當(dāng)b=0時(shí),直線經(jīng)過原點(diǎn),是正比例函數(shù).

  (4)由于k,b的符號不同,直線所經(jīng)過的象限也不同;

  5、確定正比例函數(shù)及一次函數(shù)表達(dá)式的條件

  (1)由于正比例函數(shù)y=kx(k0)中只有一個(gè)待定系數(shù)k,故只需一個(gè)條件(如一對x,y的值或一個(gè)點(diǎn))就可求得k的值.

  (2)由于一次函數(shù)y=kx+b(k0)中有兩個(gè)待定系數(shù)k,b,需要兩個(gè)獨(dú)立的條件確定兩個(gè)關(guān)于k,b的方程,求得k,b的值,這兩個(gè)條件通常是兩個(gè)點(diǎn)或兩對x,y的值.

  6、待定系數(shù)法

  先設(shè)待求函數(shù)關(guān)系式(其中含有未知常數(shù)系數(shù)),再根據(jù)條件列出方程(或方程組),求出未知系數(shù),從而得到所求結(jié)果的方法,叫做待定系數(shù)法.其中未知系數(shù)也叫待定系數(shù).例如:函數(shù)y=kx+b中,k,b就是待定系數(shù).

  7、用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)表達(dá)式的一般步驟

  (1)設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b;

  (2)將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式,解方程(組);

  (3)求出k與b的值,得到函數(shù)表達(dá)式.

  8、本章思想方法

  (1)函數(shù)方法。函數(shù)方法就是用運(yùn)動、變化的觀點(diǎn)來分析題中的數(shù)量關(guān)系,函數(shù)的實(shí)質(zhì)是研究兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系。

  (2)數(shù)形結(jié)合法。數(shù)形結(jié)合法是指將數(shù)與形結(jié)合,分析、研究、解決問題的一種思想方法。

  初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識點(diǎn)

  一、定義與定義表達(dá)式

  一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系:y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0,且a決定函數(shù)的開口方向,a>0時(shí),開口方向向上,a<0時(shí),開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大),則稱y為x的二次函數(shù)。

  二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。

  二、二次函數(shù)的三種表達(dá)式

  一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)

  頂點(diǎn)式:y=a(x-h)2+k[拋物線的頂點(diǎn)P(h,k)]

  交點(diǎn)式:y=a(x-x?)(x-x?)[僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x?,0)和B(x?,0)的拋物線]

  注:在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中,有如下關(guān)系:

  h=-b/2a

  k=(4ac-b2)/4a

  x?,x?=(-b±√b2-4ac)/2a

  三、二次函數(shù)的圖像

  在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像,可以看出,二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。

  四、拋物線的性質(zhì)

  1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。

  對稱軸與拋物線的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。特別地,當(dāng)b=0時(shí),拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)。

  2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P,坐標(biāo)為:P(-b/2a,(4ac-b2)/4a)。當(dāng)-b/2a=0時(shí),P在y軸上;當(dāng)Δ=b2-4ac=0時(shí),P在x軸上。

  3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。

  當(dāng)a>0時(shí),拋物線向上開口;當(dāng)a<0時(shí),拋物線向下開口。|a|越大,則拋物線的開口越小。

  4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。

  當(dāng)a與b同號時(shí)(即ab>0),對稱軸在y軸左;當(dāng)a與b異號時(shí)(即ab<0),對稱軸在y軸右。

  5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。拋物線與y軸交于(0,c)。

  6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù):

  Δ=b2-4ac>0時(shí),拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。

  Δ=b2-4ac=0時(shí),拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。

  Δ=b2-4ac<0時(shí),拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。X的取值是虛數(shù)(x=-b±√b2-4ac的值的相反數(shù),乘上虛數(shù)i,整個(gè)式子除以2a)

  五、二次函數(shù)與一元二次方程

  特別地,二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax2+bx+c。

  當(dāng)y=0時(shí),二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱方程),即ax2+bx+c=0。

  此時(shí),函數(shù)圖像與x軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根。函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。

  1.二次函數(shù)y=ax2,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k,y=ax2+bx+c(各式中,a≠0)的圖象形狀相同,只是位置不同。

  它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對稱軸如下表:

  當(dāng)h>0時(shí),y=a(x-h)2的圖象可由拋物線y=ax2向右平行移動h個(gè)單位得到。

  當(dāng)h<0時(shí),則向左平行移動|h|個(gè)單位得到。

  當(dāng)h>0,k>0時(shí),將拋物線y=ax2向右平行移動h個(gè)單位,再向上移動k個(gè)單位,就可以得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象。

  當(dāng)h>0,k<0時(shí),將拋物線y=ax2向右平行移動h個(gè)單位,再向下移動|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象。

  當(dāng)h<0,k>0時(shí),將拋物線向左平行移動|h|個(gè)單位,再向上移動k個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象。

  當(dāng)h<0,k<0時(shí),將拋物線向左平行移動|h|個(gè)單位,再向下移動|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象。

  因此,研究拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象,通過配方,將一般式化為y=a(x-h)2+k的形式,可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸,拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.

  2.拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象:當(dāng)a>0時(shí),開口向上,當(dāng)a<0時(shí)開口向下,對稱軸是直線x=-b/2a,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-b/2a,[4ac-b2]/4a).

  3.拋物線y=ax2+bx+c(a≠0),若a>0,當(dāng)x≤-b/2a時(shí),y隨x的增大而減小;當(dāng)x≥-b/2a時(shí),y隨x的增大而增大.若a<0,當(dāng)x≤-b/2a時(shí),y隨x的增大而增大;當(dāng)x≥-b/2a時(shí),y隨x的增大而減小.

  4.拋物線y=ax2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn):

  (1)圖象與y軸一定相交,交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,c);

  (2)當(dāng)△=b^2-4ac>0,圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(x?,0)和B(x?,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根.這兩點(diǎn)間的距離AB=|x?-x?|。

  當(dāng)△=0.圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)△<0.圖象與x軸沒有交點(diǎn).當(dāng)a>0時(shí),圖象落在x軸的上方,x為任何實(shí)數(shù)時(shí),都有y>0;當(dāng)a<0時(shí),圖象落在x軸的下方,x為任何實(shí)數(shù)時(shí),都有y<0.

  5.拋物線y=ax2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),則當(dāng)x=-b/2a時(shí),y最小(大)值=(4ac-b2)/4a.

  頂點(diǎn)的橫坐標(biāo),是取得最值時(shí)的自變量值,頂點(diǎn)的縱坐標(biāo),是最值的取值.

  6.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

  (1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過三個(gè)已知點(diǎn)或已知x、y的三對對應(yīng)值時(shí),可設(shè)解析式為一般形式:y=ax2+bx+c(a≠0).

  (2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸時(shí),可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式:y=a(x-h)2+k(a≠0).

  (3)當(dāng)題給條件為已知圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),可設(shè)解析式為兩根式:y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0).

  7.二次函數(shù)知識很容易與其它知識綜合應(yīng)用,而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此,以二次函數(shù)知識為主的綜合性題目是中考的熱點(diǎn)考題,往往以大題形式出現(xiàn).

函數(shù)知識點(diǎn)3

  高一數(shù)學(xué)函數(shù)知識點(diǎn)歸納

  1、函數(shù):設(shè)A、B為非空集合,如果按照某個(gè)特定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù),寫作y=f(x),x∈A,其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域,與x相對應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合B={f(x)∣x∈A }叫做函數(shù)的值域。

  2、函數(shù)定義域的解題思路:

 、湃魓處于分母位置,則分母x不能為0。

  ⑵偶次方根的被開方數(shù)不小于0。

 、菍(shù)式的真數(shù)必須大于0。

 、戎笖(shù)對數(shù)式的底,不得為1,且必須大于0。

 、芍笖(shù)為0時(shí),底數(shù)不得為0。

  ⑹如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的,那么,它的定義域是各個(gè)部分都有意義的x值組成的集合。

 、藢(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義。

  3、相同函數(shù)

  ⑴表達(dá)式相同:與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。

 、贫x域一致,對應(yīng)法則一致。

  4、函數(shù)值域的求法

  ⑴觀察法:適用于初等函數(shù)及一些簡單的由初等函數(shù)通過四則運(yùn)算得到的函數(shù)。

 、茍D像法:適用于易于畫出函數(shù)圖像的函數(shù)已經(jīng)分段函數(shù)。

  ⑶配方法:主要用于二次函數(shù),配方成y=(x-a)2+b的形式。

 、却鷵Q法:主要用于由已知值域的函數(shù)推測未知函數(shù)的值域。

  5、函數(shù)圖像的變換

 、牌揭谱儞Q:在x軸上的變換在x上就行加減,在y軸上的變換在y上進(jìn)行加減。

 、粕炜s變換:在x前加上系數(shù)。

 、菍ΨQ變換:高中階段不作要求。

  6、映射:設(shè)A、B是兩個(gè)非空集合,如果按某一個(gè)確定的對應(yīng)法則f,使對于A中的任意儀的元素x,在集合B中都有唯一的確定的y與之對應(yīng),那么就稱對應(yīng)f:A→B為從集合A到集合B的映射。

 、偶螦中的每一個(gè)元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的。

 、萍螦中的不同元素,在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個(gè)。

  ⑶不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象。

  7、分段函數(shù)

  ⑴在定義域的不同部分上有不同的解析式表達(dá)式。

  ⑵各部分自變量和函數(shù)值的'取值范圍不同。

  ⑶分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集,值域是各段值域的并集。

  8、復(fù)合函數(shù):如果(u∈M),u=g(x) (x∈A),則,y=f[g(x)]=F(x) (x∈A),稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。

  高一數(shù)學(xué)函數(shù)的性質(zhì)

  1、函數(shù)的局部性質(zhì)——單調(diào)性

  設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果對應(yīng)定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)變量x1、x2,當(dāng)x1< x2時(shí),都有f(x1)f(x2),那么那么y=f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù),D是函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間。

  ⑴函數(shù)區(qū)間單調(diào)性的判斷思路

 、≡诮o出區(qū)間內(nèi)任取x1、x2,則x1、x2∈D,且x1< x2。

  ⅱ做差值f(x1)-f(x2),并進(jìn)行變形和配方,變?yōu)橐子谂袛嗾?fù)的形式。

  ⅲ判斷變形后的表達(dá)式f(x1)-f(x2)的符號,指出單調(diào)性。

 、茝(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

  復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x),y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān),其規(guī)律為“同增異減”;多個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù),根據(jù)原則“減偶則增,減奇則減”。

 、亲⒁馐马(xiàng)

  函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成并集,如果函數(shù)在區(qū)間A和B上都遞增,則表示為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為A和B,不能表示為A∪B。

  2、函數(shù)的整體性質(zhì)——奇偶性

  對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(x) =f(-x),則f(x)就為偶函數(shù);

  對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(x) =-f(x),則f(x)就為奇函數(shù)。

  ⑴奇函數(shù)和偶函數(shù)的性質(zhì)

 、o論函數(shù)是奇函數(shù)還是偶函數(shù),只要函數(shù)具有奇偶性,該函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對稱。

 、⑵婧瘮(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱,偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱。

  ⑵函數(shù)奇偶性判斷思路

 、∠却_定函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱,若不關(guān)于原點(diǎn)對稱,則為非奇非偶函數(shù)。

 、⒋_定f(x)和f(-x)的關(guān)系:

  若f(x) -f(-x)=0,或f(x) /f(-x)=1,則函數(shù)為偶函數(shù);

  若f(x)+f(-x)=0,或f(x)/ f(-x)=-1,則函數(shù)為奇函數(shù)。

  3、函數(shù)的最值問題

  ⑴對于二次函數(shù),利用配方法,將函數(shù)化為y=(x-a)2+b的形式,得出函數(shù)的最大值或最小值。

 、茖τ谝子诋嫵龊瘮(shù)圖像的函數(shù),畫出圖像,從圖像中觀察最值。

 、顷P(guān)于二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值問題

  ⅰ判斷二次函數(shù)的頂點(diǎn)是否在所求區(qū)間內(nèi),若在區(qū)間內(nèi),則接ⅱ,若不在區(qū)間內(nèi),則接ⅲ。

  ⅱ若二次函數(shù)的頂點(diǎn)在所求區(qū)間內(nèi),則在二次函數(shù)y=ax2+bx+c中,a>0時(shí),頂點(diǎn)為最小值,a<0時(shí)頂點(diǎn)為最大值;后判斷區(qū)間的兩端點(diǎn)距離頂點(diǎn)的遠(yuǎn)近,離頂點(diǎn)遠(yuǎn)的端點(diǎn)的函數(shù)值,即為a>0時(shí)的最大值或a<0時(shí)的最小值。

 、H舳魏瘮(shù)的頂點(diǎn)不在所求區(qū)間內(nèi),則判斷函數(shù)在該區(qū)間的單調(diào)性

  若函數(shù)在[a,b]上遞增,則最小值為f(a),最大值為f(b);

  若函數(shù)在[a,b]上遞減,則最小值為f(b),最大值為f(a)。

  高中

函數(shù)知識點(diǎn)4

  我們稱數(shù)值變化的量為變量(variable)。

  有些量的數(shù)值是始終不變的,我們稱它們?yōu)槌A?constant)。

  在一個(gè)變化過程中,如果有兩個(gè)變量x與y,并且對于x的`每一個(gè)確定的值,y都有唯一確定的值與其對應(yīng),那么我們說x是自變量(independentvariable),y是x的函數(shù)(function)。

  如果當(dāng)x=a時(shí)y=b,那么b叫做當(dāng)自變量的值為a時(shí)的函數(shù)值。

  形如y=kx(k是常數(shù),k≠0)的函數(shù),叫做正比例函數(shù)(proportionalfunction),其中k叫做比例系數(shù)。

  形如y=kx+b(k,b是常數(shù),k≠0)的函數(shù),叫做一次函數(shù)(linearfunction)。正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù)。

  當(dāng)k>0時(shí),y隨x的增大而增大;當(dāng)k<0時(shí),y隨x的增大而減小。

  每個(gè)二元一次方程組都對應(yīng)兩個(gè)一次函數(shù),于是也對應(yīng)兩條直線。從“形”的角度看,解方程組相當(dāng)于確定兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo)。

函數(shù)知識點(diǎn)5

  變量:因變量,自變量。

  在用圖象表示變量之間的關(guān)系時(shí),通常用水平方向的數(shù)軸上的點(diǎn)自變量,用豎直方向的數(shù)軸上的點(diǎn)表示因變量。

  一次函數(shù):

 、偃魞蓚(gè)變量X,Y間的關(guān)系式可以表示成Y=KX+B(B為常數(shù),K不等于0)的形式,則稱Y是X的一次函數(shù)

 、诋(dāng)B=0時(shí),稱Y是X的正比例函數(shù)。

  一次函數(shù)的圖象:

  ①把Y=KX+B個(gè)函數(shù)的.自變量X與對應(yīng)的因變量Y的值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo),在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出它的對應(yīng)點(diǎn),所有這些點(diǎn)組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象。

 、谡壤瘮(shù)Y=KX的圖象是經(jīng)過原點(diǎn)的一條直線。

  ③在一次函數(shù)中,當(dāng)K〈0,B〈O,則經(jīng)234象限;當(dāng)K〈0,B〉0時(shí),則經(jīng)124象限;當(dāng)K〉0, B〈0時(shí),則經(jīng)134象限;當(dāng)K〉0,B〉0時(shí),則經(jīng)123象限。

 、墚(dāng)K〉0時(shí),Y的值隨X值的增大而增大,當(dāng)X〈0時(shí),Y的值隨X值的增大而減少。

  二次函數(shù);

 、僮宰兞縳和因變量y之間關(guān)系可表示成y=ax^2+bx+c,則稱a是y的二次函數(shù)。

  二次函數(shù)的圖象:

  ①如果二次項(xiàng)系數(shù)是正,那么開口向上,y的范圍為y>=k

 、谌绻雾(xiàng)系數(shù)是負(fù),那么開口向下,y的范圍為y<=k

 、郛(dāng)a>0時(shí),二次函數(shù)圖象向上開口;當(dāng)a<0時(shí),拋物線向下開口。

 、墚(dāng)|a|越大,則二次函數(shù)圖像的開口越小。

函數(shù)知識點(diǎn)6

  一、變量與函數(shù)

  [變量和常量]

  在一個(gè)變化過程中,數(shù)值發(fā)生變化的量,我們稱之為變量,而數(shù)值始終保持不變的量,我們稱之為常量。

  [函數(shù)]

  一般地,在一個(gè)變化過程中,如果有兩個(gè)變量 與 ,并且對于 的每一個(gè)確定的值, 都有唯一確定的值與其對應(yīng),那么我們就說 是自變量, 是 的函數(shù)。如果當(dāng) 時(shí) ,那么 叫做當(dāng)自變量的值為 時(shí)的函數(shù)值。

  [自變量取值范圍的確定方法]

  1、 自變量的取值范圍必須使解析式有意義。

  當(dāng)解析式為整式時(shí),自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù);當(dāng)解析式為分?jǐn)?shù)形式時(shí),自變量的取值范圍是使分母不為0的所有實(shí)數(shù);當(dāng)解析式中含有二次根式時(shí),自變量的取值范圍是使被開方數(shù)大于等于0的所有實(shí)數(shù)。

  2、自變量的取值范圍必須使實(shí)際問題有意義。

  [函數(shù)的圖像]

  一般來說,對于一個(gè)函數(shù),如果把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo),那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形,就是這個(gè)函數(shù)的圖象.

  [描點(diǎn)法畫函數(shù)圖形的一般步驟]

  第一步:列表(表中給出一些自變量的值及其對應(yīng)的函數(shù)值);

  第二步:描點(diǎn)(在直角坐標(biāo)系中,以自變量的值為橫坐標(biāo),相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo),描出表格中數(shù)值對應(yīng)的各點(diǎn));

  第三步:連線(按照橫坐標(biāo)由小到大的順序把所描出的各點(diǎn)用平滑曲線連接起來)。

  [函數(shù)的表示方法]

  列表法:一目了然,使用起來方便,但列出的對應(yīng)值是有限的,不易看出自變量與函數(shù)之間的對應(yīng)規(guī)律。

  解析式法:簡單明了,能夠準(zhǔn)確地反映整個(gè)變化過程中自變量與函數(shù)之間的相依關(guān)系,但有些實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系,不能用解析式表示。

  圖象法:形象直觀,但只能近似地表達(dá)兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系。

  [正比例函數(shù)]

  一般地,形如y=kx(k是常數(shù),k≠0)的函數(shù),叫做正比例函數(shù)(proportional function),其中k叫做比例系數(shù).

  [正比例函數(shù)圖象和性質(zhì)]

  一般地,正比例函數(shù)y=kx(k是常數(shù),k≠0)的圖象是一條經(jīng)過原點(diǎn)和(1,k)的直線.我們稱它為直線y=kx.當(dāng)k>0時(shí),直線y=kx經(jīng)過三、一象限,從左向右上升,即隨x的增大y也增大;當(dāng)k<0時(shí),直線y=kx經(jīng)過二、四象限,從左向右下降,即隨x增大y反而減小.

  (1) 解析式:y=kx(k是常數(shù),k≠0)

  (2) 必過點(diǎn):(0,0)、(1,k)

  (3) 走向:k>0時(shí),圖像經(jīng)過一、三象限;k<0時(shí),圖像經(jīng)過二、四象限

  (4) 增減性:k>0,y隨x的增大而增大;k<0,y隨x增大而減小

  (5) 傾斜度:|k|越大,越接近y軸;|k|越小,越接近x軸

  [正比例函數(shù)解析式的確定]——待定系數(shù)法

  1. 設(shè)出含有待定系數(shù)的函數(shù)解析式y(tǒng)=kx(k≠0)

  2. 把已知條件(一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo))代入解析式,得到關(guān)于k的一元一次方程

  3. 解方程,求出系數(shù)k

  4. 將k的值代回解析式

  二、一次函數(shù)

  [一次函數(shù)]

  一般地,形如y=kx+b(k、b是常數(shù),k 0)函數(shù),叫做一次函數(shù). 當(dāng)b=0時(shí),y=kx+b即y=kx,所以正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).

  [一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)]

  一次函數(shù)y=kx+b的圖象是經(jīng)過(0,b)和(- ,0)兩點(diǎn)的一條直線,我們稱它為直線y=kx+b,它可以看作由直線y=kx平移|b|個(gè)單位長度得到.(當(dāng)b>0時(shí),向上平移;當(dāng)b<0時(shí),向下平移)

  (1)解析式:y=kx+b(k、b是常數(shù),k 0)

  (2)必過點(diǎn):(0,b)和(- ,0)

  (3)走向: k>0,圖象經(jīng)過第一、三象限;k<0,圖象經(jīng)過第二、四象限

  b>0,圖象經(jīng)過第一、二象限;b<0,圖象經(jīng)過第三、四象限

  直線經(jīng)過第一、二、三象限

  直線經(jīng)過第一、三、四象限

  直線經(jīng)過第一、二、四象限

  直線經(jīng)過第二、三、四象限

  (4)增減性: k>0,y隨x的增大而增大;k<0,y隨x增大而減小.

  (5)傾斜度:|k|越大,圖象越接近于y軸;|k|越小,圖象越接近于x軸.

  (6)圖像的平移: 當(dāng)b>0時(shí),將直線y=kx的圖象向上平移b個(gè)單位;

  當(dāng)b<0時(shí),將直線y=kx的圖象向下平移b個(gè)單位.

  [直線y=k1x+b1與y=k2x+b2的位置關(guān)系]

  (1)兩直線平行:k1=k2且b1 b2

  (2)兩直線相交:k1 k2

  (3)兩直線重合:k1=k2且b1=b2

  [確定一次函數(shù)解析式的方法]

  (1)根據(jù)已知條件寫出含有待定系數(shù)的函數(shù)解析式;

  (2)將x、y的幾對值或圖象上的幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述函數(shù)解析式中得到以待定系數(shù)為未知數(shù)的方程;

  (3)解方程得出未知系數(shù)的值;

  (4)將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)解析式中得出結(jié)果.

  [一次函數(shù)建模]

  函數(shù)建模的關(guān)鍵是將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化,從而解決最佳方案、最佳策略等問題. 建立一次函數(shù)模型解決實(shí)際問題,就是要從實(shí)際問題中抽象出兩個(gè)變量,再尋求出兩個(gè)變量之間的關(guān)系,構(gòu)建函數(shù)模型,從而利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題.

  正比例函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象在賦予實(shí)際意義時(shí),其圖象大多為線段或射線. 這是因?yàn)樵趯?shí)際問題中,自變量的取值范圍是有一定的限制條件的`,即自變量必須使實(shí)際問題有意義.

  從圖象中獲取的信息一般是:(1)從函數(shù)圖象的形狀判定函數(shù)的類型;

  (2)從橫、縱軸的實(shí)際意義理解圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的實(shí)際意義.

  解決含有多個(gè)變量的問題時(shí),可以分析這些變量的關(guān)系,選取其中某個(gè)變量作為自變量,再根據(jù)問題的條件尋求可以反映實(shí)際問題的函數(shù).

  三、用函數(shù)觀點(diǎn)看方程(組)與不等式

  [一元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系]

  任何一元一次方程到可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0(a,b為常數(shù),a≠0)的形式,所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為:當(dāng)某個(gè)一次函數(shù)的值為0時(shí),求相應(yīng)的自變量的值. 從圖象上看,相當(dāng)于已知直線y=ax+b確定它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值.

  [一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系]

  任何一個(gè)一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為ax+b>0或ax+b<0(a,b為常數(shù),a≠0)的形式,所以解一元一次不等式可以看作:當(dāng)一次函數(shù)值大(小)于0時(shí),求自變量的取值范圍.

  [一次函數(shù)與二元一次方程組]

  (1)以二元一次方程ax+by=c的解為坐標(biāo)的點(diǎn)組成的圖象與一次函數(shù)y= 的圖象相同.

  (2)二元一次方程組 的解可以看作是兩個(gè)一次函數(shù)y= 和y= 的圖象交點(diǎn).

  三個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想

  1.方程的思想。數(shù)學(xué)是研究事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系的,初中數(shù)學(xué)最重要的就是等量關(guān)系,其次是不等量關(guān)系。最常見的等量關(guān)系就是方程。

  2.數(shù)形結(jié)合的思想。任何一道題,只要與形沾邊,就應(yīng)該根據(jù)題意中的草圖分析一番。這樣做,不但直觀,而且全面,整體性強(qiáng)。

  3.對應(yīng)的思想。

  初中生數(shù)學(xué)成績的提高,需要靠自己勤加練習(xí)和腳踏實(shí)地的去接受數(shù)學(xué)。

  合數(shù)的概念

  合數(shù)指自然數(shù)中除了能被1和本身整除外,還能被其他數(shù)(0除外)整除的數(shù)。與之相對的是質(zhì)數(shù),而1既不屬于質(zhì)dao數(shù)也不屬于合數(shù)。最小的合數(shù)是4。其中,完全數(shù)與相親數(shù)是以它為基礎(chǔ)的。

函數(shù)知識點(diǎn)7

  三角函數(shù)

  正角:按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

  1、任意角負(fù)角:按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

  零角:不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角

  2、角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊落在第幾象限,則稱為第幾象限角.

  第二象限角的集合為k36090k360180,k

  第三象限角的集合為k360180k360270,k第四象限角的集合為k360270k360360,k終邊在x軸上的角的集合為k180,k

  終邊在y軸上的角的集合為k18090,k終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為k90,k

  第一象限角的集合為k360k36090,k

  3、與角終邊相同的角的集合為k360,k

  4、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度.

  5、半徑為r的圓的圓心角所對弧的長為l,則角的弧度數(shù)的絕對值是

  l.r

  180

  6、弧度制與角度制的換算公式:2360,1,157.3.180

  7、若扇形的'圓心角為

  為弧度制,半徑為r,弧長為l,周長為C,面積為S,則lr,C2rl

  數(shù)學(xué)判定與性質(zhì)區(qū)別

  1數(shù)學(xué)中的判定

  判定多用于數(shù)學(xué)的證明概念,通過事物的本質(zhì)屬性反映出的本質(zhì)性質(zhì),以此作為依據(jù)推知下一步結(jié)論,這個(gè)行為叫做判定。

  例如:兩組對邊分別平行的四邊形,叫做平行四邊形,這個(gè)作為已證明的定理,揭示了本質(zhì),可以說是“永遠(yuǎn)成立”。

  以此作為判定依據(jù),這個(gè)依據(jù)叫判定定理,我發(fā)現(xiàn)一個(gè)四邊形的一組對邊平行且相等,那么可以斷定此四邊形就是平行四邊形,這個(gè)行為叫判定

  2數(shù)學(xué)性質(zhì)

  數(shù)學(xué)性質(zhì)是數(shù)學(xué)表觀和內(nèi)在所具有的特征,一種事物區(qū)別于其他事物的屬性。如:平行四邊形的性質(zhì):對邊平行,對邊相等,對角線互相平分,中心對稱圖形。

  垂直平分線定理

  性質(zhì)定理:在垂直平分線上的點(diǎn)到該線段兩端點(diǎn)的距離相等;

  判定定理:到線段2端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這線段的垂直平分線上

  角平分線:把一個(gè)角平分的射線叫該角的角平分線。

  定義中有幾個(gè)要點(diǎn)要注意一下的,就是角的角平分線是一條射線,不是線段也不是直線,很多時(shí),在題目中會出現(xiàn)直線,這是角平分線的對稱軸才會用直線的,這也涉及到軌跡的問題,一個(gè)角個(gè)角平分線就是到角兩邊距離相等的點(diǎn)

  性質(zhì)定理:角平分線上的點(diǎn)到該角兩邊的距離相等

  判定定理:到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在該角的角平分線上

函數(shù)知識點(diǎn)8

  【(一)、映射、函數(shù)、反函數(shù)】

  1、對應(yīng)、映射、函數(shù)三個(gè)概念既有共性又有區(qū)別,映射是一種特殊的對應(yīng),而函數(shù)又是一種特殊的映射.

  2、對于函數(shù)的概念,應(yīng)注意如下幾點(diǎn):

  (1)掌握構(gòu)成函數(shù)的三要素,會判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù).

  (2)掌握三種表示法——列表法、解析法、圖象法,能根實(shí)際問題尋求變量間的函數(shù)關(guān)系式,特別是會求分段函數(shù)的解析式.

  (3)如果y=f(u),u=g(x),那么y=f[g(x)]叫做f和g的復(fù)合函數(shù),其中g(shù)(x)為內(nèi)函數(shù),f(u)為外函數(shù).

  3、求函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)的一般步驟:

  (1)確定原函數(shù)的值域,也就是反函數(shù)的定義域;

  (2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y);

  (3)將x,y對換,得反函數(shù)的習(xí)慣表達(dá)式y(tǒng)=f-1(x),并注明定義域.

  注意①:對于分段函數(shù)的反函數(shù),先分別求出在各段上的反函數(shù),然后再合并到一起.

  ②熟悉的應(yīng)用,求f-1(x0)的值,合理利用這個(gè)結(jié)論,可以避免求反函數(shù)的過程,從而簡化運(yùn)算.

  【(二)、函數(shù)的解析式與定義域】

  1、函數(shù)及其定義域是不可分割的整體,沒有定義域的函數(shù)是不存在的,因此,要正確地寫出函數(shù)的解析式,必須是在求出變量間的對應(yīng)法則的同時(shí),求出函數(shù)的定義域.求函數(shù)的定義域一般有三種類型:

  (1)有時(shí)一個(gè)函數(shù)來自于一個(gè)實(shí)際問題,這時(shí)自變量x有實(shí)際意義,求定義域要結(jié)合實(shí)際意義考慮;

  (2)已知一個(gè)函數(shù)的解析式求其定義域,只要使解析式有意義即可.如:

 、俜质降姆帜覆坏脼榱;

  ②偶次方根的被開方數(shù)不小于零;

 、蹖(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零;

 、苤笖(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1;

 、萑呛瘮(shù)中的正切函數(shù)y=tanx(x∈R,且k∈Z),余切函數(shù)y=cotx(x∈R,x≠kπ,k∈Z)等.

  應(yīng)注意,一個(gè)函數(shù)的解析式由幾部分組成時(shí),定義域?yàn)楦鞑糠钟幸饬x的自變量取值的公共部分(即交集).

  (3)已知一個(gè)函數(shù)的定義域,求另一個(gè)函數(shù)的定義域,主要考慮定義域的深刻含義即可.

  已知f(x)的定義域是[a,b],求f[g(x)]的定義域是指滿足a≤g(x)≤b的x的取值范圍,而已知f[g(x)]的定義域[a,b]指的是x∈[a,b],此時(shí)f(x)的定義域,即g(x)的值域.

  2、求函數(shù)的解析式一般有四種情況

  (1)根據(jù)某實(shí)際問題需建立一種函數(shù)關(guān)系時(shí),必須引入合適的變量,根據(jù)數(shù)學(xué)的有關(guān)知識尋求函數(shù)的解析式.

  (2)有時(shí)題設(shè)給出函數(shù)特征,求函數(shù)的解析式,可采用待定系數(shù)法.比如函數(shù)是一次函數(shù),可設(shè)f(x)=ax+b(a≠0),其中a,b為待定系數(shù),根據(jù)題設(shè)條件,列出方程組,求出a,b即可.

  (3)若題設(shè)給出復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的表達(dá)式時(shí),可用換元法求函數(shù)f(x)的表達(dá)式,這時(shí)必須求出g(x)的值域,這相當(dāng)于求函數(shù)的定義域.

  (4)若已知f(x)滿足某個(gè)等式,這個(gè)等式除f(x)是未知量外,還出現(xiàn)其他未知量(如f(-x),等),必須根據(jù)已知等式,再構(gòu)造其他等式組成方程組,利用解方程組法求出f(x)的表達(dá)式.

  【(三)、函數(shù)的值域與最值】

  1、函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則,不論采用何種方法求函數(shù)值域都應(yīng)先考慮其定義域,求函數(shù)值域常用方法如下:

  (1)直接法:亦稱觀察法,對于結(jié)構(gòu)較為簡單的函數(shù),可由函數(shù)的解析式應(yīng)用不等式的性質(zhì),直接觀察得出函數(shù)的值域.

  (2)換元法:運(yùn)用代數(shù)式或三角換元將所給的復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化成另一種簡單函數(shù)再求值域,若函數(shù)解析式中含有根式,當(dāng)根式里一次式時(shí)用代數(shù)換元,當(dāng)根式里是二次式時(shí),用三角換元.

  (3)反函數(shù)法:利用函數(shù)f(x)與其反函數(shù)f-1(x)的定義域和值域間的關(guān)系,通過求反函數(shù)的定義域而得到原函數(shù)的值域,形如(a≠0)的函數(shù)值域可采用此法求得.

  (4)配方法:對于二次函數(shù)或二次函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域問題可考慮用配方法.

  (5)不等式法求值域:利用基本不等式a+b≥[a,b∈(0,+∞)]可以求某些函數(shù)的值域,不過應(yīng)注意條件“一正二定三相等”有時(shí)需用到平方等技巧.

  (6)判別式法:把y=f(x)變形為關(guān)于x的一元二次方程,利用“△≥0”求值域.其題型特征是解析式中含有根式或分式.

  (7)利用函數(shù)的單調(diào)性求值域:當(dāng)能確定函數(shù)在其定義域上(或某個(gè)定義域的子集上)的單調(diào)性,可采用單調(diào)性法求出函數(shù)的值域.

  (8)數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)的值域:利用函數(shù)所表示的幾何意義,借助于幾何方法或圖象,求出函數(shù)的值域,即以數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的值域.

  2、求函數(shù)的最值與值域的區(qū)別和聯(lián)系

  求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的,事實(shí)上,如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小(大)數(shù),這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值與值域,其實(shí)質(zhì)是相同的,只是提問的角度不同,因而答題的方式就有所相異.

  如函數(shù)的值域是(0,16],值是16,無最小值.再如函數(shù)的值域是(-∞,-2]∪[2,+∞),但此函數(shù)無值和最小值,只有在改變函數(shù)定義域后,如x>0時(shí),函數(shù)的最小值為2.可見定義域?qū)瘮?shù)的值域或最值的影響.

  3、函數(shù)的最值在實(shí)際問題中的應(yīng)用

  函數(shù)的最值的應(yīng)用主要體現(xiàn)在用函數(shù)知識求解實(shí)際問題上,從文字表述上常常表現(xiàn)為“工程造價(jià)最低”,“利潤”或“面積(體積)(最小)”等諸多現(xiàn)實(shí)問題上,求解時(shí)要特別關(guān)注實(shí)際意義對自變量的制約,以便能正確求得最值.

  【(四)、函數(shù)的奇偶性】

  1、函數(shù)的奇偶性的定義:對于函數(shù)f(x),如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)(或偶函數(shù)).

  正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義,要注意兩點(diǎn):(1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定義域上的恒等式.(奇偶性是函數(shù)定義域上的整體性質(zhì)).

  2、奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)。為了便于判斷函數(shù)的'奇偶性,有時(shí)需要將函數(shù)化簡或應(yīng)用定義的等價(jià)形式:

  注意如下結(jié)論的運(yùn)用:

  (1)不論f(x)是奇函數(shù)還是偶函數(shù),f(|x|)總是偶函數(shù);

  (2)f(x)、g(x)分別是定義域D1、D2上的奇函數(shù),那么在D1∩D2上,f(x)+g(x)是奇函數(shù),f(x)·g(x)是偶函數(shù),類似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”,“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”;

  (3)奇偶函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的奇偶性通常是偶函數(shù);

  (4)奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù),偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。

  3、有關(guān)奇偶性的幾個(gè)性質(zhì)及結(jié)論

  (1)一個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱;一個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對稱.

  (2)如要函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱且函數(shù)值恒為零,那么它既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

  (3)若奇函數(shù)f(x)在x=0處有意義,則f(0)=0成立.

  (4)若f(x)是具有奇偶性的區(qū)間單調(diào)函數(shù),則奇(偶)函數(shù)在正負(fù)對稱區(qū)間上的單調(diào)性是相同(反)的。

  (5)若f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,則F(x)=f(x)+f(-x)是偶函數(shù),G(x)=f(x)-f(-x)是奇函數(shù).

  (6)奇偶性的推廣

  函數(shù)y=f(x)對定義域內(nèi)的任一x都有f(a+x)=f(a-x),則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱,即y=f(a+x)為偶函數(shù).函數(shù)y=f(x)對定義域內(nèi)的任-x都有f(a+x)=-f(a-x),則y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)成中心對稱圖形,即y=f(a+x)為奇函數(shù)。

  【(五)、函數(shù)的單調(diào)性】

  1、單調(diào)函數(shù)

  對于函數(shù)f(x)定義在某區(qū)間[a,b]上任意兩點(diǎn)x1,x2,當(dāng)x1>x2時(shí),都有不等式f(x1)>(或<)f(x2)成立,稱f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增(或遞減);增函數(shù)或減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).

  對于函數(shù)單調(diào)性的定義的理解,要注意以下三點(diǎn):

  (1)單調(diào)性是與“區(qū)間”緊密相關(guān)的概念.一個(gè)函數(shù)在不同的區(qū)間上可以有不同的單調(diào)性.

  (2)單調(diào)性是函數(shù)在某一區(qū)間上的“整體”性質(zhì),因此定義中的x1,x2具有任意性,不能用特殊值代替.

  (3)單調(diào)區(qū)間是定義域的子集,討論單調(diào)性必須在定義域范圍內(nèi).

  (4)注意定義的兩種等價(jià)形式:

  設(shè)x1、x2∈[a,b],那么:

 、僭赱a、b]上是增函數(shù);

  在[a、b]上是減函數(shù).

 、谠赱a、b]上是增函數(shù).

  在[a、b]上是減函數(shù).

  需要指出的是:①的幾何意義是:增(減)函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)(x1,f(x1))、(x2,f(x2))連線的斜率都大于(或小于)零.

  (5)由于定義都是充要性命題,因此由f(x)是增(減)函數(shù),且(或x1>x2),這說明單調(diào)性使得自變量間的不等關(guān)系和函數(shù)值之間的不等關(guān)系可以“正逆互推”.

  5、復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)性

  若u=g(x)在區(qū)間[a,b]上的單調(diào)性,與y=f(u)在[g(a),g(b)](或g(b),g(a))上的單調(diào)性相同,則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]在[a,b]上單調(diào)遞增;否則,單調(diào)遞減.簡稱“同增、異減”.

  在研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí),常需要先將函數(shù)化簡,轉(zhuǎn)化為討論一些熟知函數(shù)的單調(diào)性。因此,掌握并熟記一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,將大大縮短我們的判斷過程.

  6、證明函數(shù)的單調(diào)性的方法

  (1)依定義進(jìn)行證明.其步驟為:①任取x1、x2∈M且x1(或<)f(x2);③根據(jù)定義,得出結(jié)論.

  (2)設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo).

  如果f′(x)>0,則f(x)為增函數(shù);如果f′(x)<0,則f(x)為減函數(shù).

  【(六)、函數(shù)的圖象】

  函數(shù)的圖象是函數(shù)的直觀體現(xiàn),應(yīng)加強(qiáng)對作圖、識圖、用圖能力的培養(yǎng),培養(yǎng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問題的意識.

  求作圖象的函數(shù)表達(dá)式

  與f(x)的關(guān)系

  由f(x)的圖象需經(jīng)過的變換

  y=f(x)±b(b>0)

  沿y軸向平移b個(gè)單位

  y=f(x±a)(a>0)

  沿x軸向平移a個(gè)單位

  y=-f(x)

  作關(guān)于x軸的對稱圖形

  y=f(|x|)

  右不動、左右關(guān)于y軸對稱

  y=|f(x)|

  上不動、下沿x軸翻折

  y=f-1(x)

  作關(guān)于直線y=x的對稱圖形

  y=f(ax)(a>0)

  橫坐標(biāo)縮短到原來的,縱坐標(biāo)不變

  y=af(x)

  縱坐標(biāo)伸長到原來的|a|倍,橫坐標(biāo)不變

  y=f(-x)

  作關(guān)于y軸對稱的圖形

  【例】定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x),對任意x,y∈R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y),且f(0)≠0.

 、偾笞C:f(0)=1;

 、谇笞C:y=f(x)是偶函數(shù);

 、廴舸嬖诔(shù)c,使求證對任意x∈R,有f(x+c)=-f(x)成立;試問函數(shù)f(x)是不是周期函數(shù),如果是,找出它的一個(gè)周期;如果不是,請說明理由.

  思路分析:我們把沒有給出解析式的函數(shù)稱之為抽象函數(shù),解決這類問題一般采用賦值法.

  解答:①令x=y=0,則有2f(0)=2f2(0),因?yàn)閒(0)≠0,所以f(0)=1.

 、诹顇=0,則有f(x)+f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y),所以f(-y)=f(y),這說明f(x)為偶函數(shù).

 、鄯謩e用(c>0)替換x、y,有f(x+c)+f(x)=

  所以,所以f(x+c)=-f(x).

  兩邊應(yīng)用中的結(jié)論,得f(x+2c)=-f(x+c)=-[-f(x)]=f(x),

  所以f(x)是周期函數(shù),2c就是它的一個(gè)周期.

函數(shù)知識點(diǎn)9

  函數(shù)點(diǎn)總結(jié)

 。1)高中函數(shù)公式的變量:因變量,自變量。 在用圖象表示變量之間的關(guān)系時(shí),通常用水平方向的數(shù)軸上的點(diǎn)自變量,用豎直方向的數(shù)軸上的點(diǎn)表示因變量。

 。2)一次函數(shù):①若兩個(gè)變量,間的關(guān)系式可以表示成(為常數(shù),不等于0)的形式,則稱是的一次函數(shù)。②當(dāng)=0時(shí),稱是的正比例函數(shù)。

 。3)高中函數(shù)的一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)①把一個(gè)函數(shù)的自變量與對應(yīng)的因變量的值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo),在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出它的對應(yīng)點(diǎn),所有這些點(diǎn)組成的`圖形叫做該函數(shù)的圖象。②正比例函數(shù)=的圖象是經(jīng)過原點(diǎn)的一條直線。③在一次函數(shù)中,當(dāng)0,O,則經(jīng)2、3、4象限;當(dāng)0,0時(shí),則經(jīng)1、2、4象限;當(dāng)0,0時(shí),則經(jīng)1、3、4象限;當(dāng)0,0時(shí),則經(jīng)1、2、3象限。④當(dāng)0時(shí),的值隨值的增大而增大,當(dāng)0時(shí),的值隨值的增大而減少。

 。4)高中函數(shù)的二次函數(shù):①一般式:(),對稱軸是頂點(diǎn)是;②頂點(diǎn)式:(),對稱軸是頂點(diǎn)是;③交點(diǎn)式:(),其中(),()是拋物線與x軸的交點(diǎn)

 。5)高中函數(shù)的二次函數(shù)的性質(zhì)①函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱。②時(shí),在對稱軸 ()左側(cè),值隨值的增大而減少;在對稱軸()右側(cè);的值隨值的增大而增大。當(dāng)時(shí),取得最小值③時(shí),在對稱軸 ()左側(cè),值隨值的增大而增大;在對稱軸()右側(cè);的值隨值的增大而減少。當(dāng)時(shí),取得最大值9 高中函數(shù)的圖形的對稱(1)軸對稱圖形:①如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊后,直線兩旁的部分能夠互相重合,那么這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形,這條直線叫做對稱軸。②軸對稱圖形上關(guān)于對稱軸對稱的兩點(diǎn)確定的線段被對稱軸垂直平分。(2)中心對稱圖形:①在平面內(nèi),一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度,如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合,那么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形,這個(gè)點(diǎn)叫做他的對稱中心。②中心對稱圖形上的每一對對應(yīng)點(diǎn)所連成的線段都被對稱中心平分。

函數(shù)知識點(diǎn)10

  (一)、映射、函數(shù)、反函數(shù)

  1、對應(yīng)、映射、函數(shù)三個(gè)概念既有共性又有區(qū)別,映射是一種特殊的對應(yīng),而函數(shù)又是一種特殊的映射。

  2、對于函數(shù)的概念,應(yīng)注意如下幾點(diǎn):

 。1)掌握構(gòu)成函數(shù)的三要素,會判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)。

  (2)掌握三種表示法——列表法、解析法、圖象法,能根實(shí)際問題尋求變量間的函數(shù)關(guān)系式,特別是會求分段函數(shù)的解析式。

 。3)如果y=f(u),u=g(x),那么y=f[g(x)]叫做f和g的復(fù)合函數(shù),其中g(shù)(x)為內(nèi)函數(shù),f(u)為外函數(shù)、

  3、求函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)的一般步驟:

 。1)確定原函數(shù)的值域,也就是反函數(shù)的定義域;

 。2)由y=f(x)的解析式求出x=f—1(y);

  (3)將x,y對換,得反函數(shù)的習(xí)慣表達(dá)式y(tǒng)=f—1(x),并注明定義域、

  注意①:對于分段函數(shù)的反函數(shù),先分別求出在各段上的反函數(shù),然后再合并到一起、

 、谑煜さ膽(yīng)用,求f—1(x0)的值,合理利用這個(gè)結(jié)論,可以避免求反函數(shù)的過程,從而簡化運(yùn)算、

  (二)、函數(shù)的解析式與定義域

  1、函數(shù)及其定義域是不可分割的整體,沒有定義域的函數(shù)是不存在的,因此,要正確地寫出函數(shù)的解析式,必須是在求出變量間的對應(yīng)法則的同時(shí),求出函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域一般有三種類型:

 。1)有時(shí)一個(gè)函數(shù)來自于一個(gè)實(shí)際問題,這時(shí)自變量x有實(shí)際意義,求定義域要結(jié)合實(shí)際意義考慮;

 。2)已知一個(gè)函數(shù)的解析式求其定義域,只要使解析式有意義即可。如:

  ①分式的分母不得為零;

 、谂即畏礁谋婚_方數(shù)不小于零;

 、蹖(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零;

 、苤笖(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1;

 、萑呛瘮(shù)中的正切函數(shù)y=tanx(x∈R,且k∈Z),余切函數(shù)y=cotx(x∈R,x≠kπ,k∈Z)等。

  應(yīng)注意,一個(gè)函數(shù)的解析式由幾部分組成時(shí),定義域?yàn)楦鞑糠钟幸饬x的自變量取值的公共部分(即交集)。

 。3)已知一個(gè)函數(shù)的定義域,求另一個(gè)函數(shù)的定義域,主要考慮定義域的深刻含義即可。

  已知f(x)的定義域是[a,b],求f[g(x)]的定義域是指滿足a≤g(x)≤b的x的取值范圍,而已知f[g(x)]的定義域[a,b]指的是x∈[a,b],此時(shí)f(x)的定義域,即g(x)的值域。

  2、求函數(shù)的解析式一般有四種情況

 。1)根據(jù)某實(shí)際問題需建立一種函數(shù)關(guān)系時(shí),必須引入合適的'變量,根據(jù)數(shù)學(xué)的有關(guān)知識尋求函數(shù)的解析式。

 。2)有時(shí)題設(shè)給出函數(shù)特征,求函數(shù)的解析式,可采用待定系數(shù)法。比如函數(shù)是一次函數(shù),可設(shè)f(x)=ax+b(a≠0),其中a,b為待定系數(shù),根據(jù)題設(shè)條件,列出方程組,求出a,b即可。

 。3)若題設(shè)給出復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的表達(dá)式時(shí),可用換元法求函數(shù)f(x)的表達(dá)式,這時(shí)必須求出g(x)的值域,這相當(dāng)于求函數(shù)的定義域。

 。4)若已知f(x)滿足某個(gè)等式,這個(gè)等式除f(x)是未知量外,還出現(xiàn)其他未知量(如f(—x),等),必須根據(jù)已知等式,再構(gòu)造其他等式組成方程組,利用解方程組法求出f(x)的表達(dá)式。

  (三)、函數(shù)的值域與最值

  1、函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則,不論采用何種方法求函數(shù)值域都應(yīng)先考慮其定義域,求函數(shù)值域常用方法如下:

 。1)直接法:亦稱觀察法,對于結(jié)構(gòu)較為簡單的函數(shù),可由函數(shù)的解析式應(yīng)用不等式的性質(zhì),直接觀察得出函數(shù)的值域。

 。2)換元法:運(yùn)用代數(shù)式或三角換元將所給的復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化成另一種簡單函數(shù)再求值域,若函數(shù)解析式中含有根式,當(dāng)根式里一次式時(shí)用代數(shù)換元,當(dāng)根式里是二次式時(shí),用三角換元。

 。3)反函數(shù)法:利用函數(shù)f(x)與其反函數(shù)f—1(x)的定義域和值域間的關(guān)系,通過求反函數(shù)的定義域而得到原函數(shù)的值域,形如(a≠0)的函數(shù)值域可采用此法求得。

 。4)配方法:對于二次函數(shù)或二次函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域問題可考慮用配方法。

 。5)不等式法求值域:利用基本不等式a+b≥[a,b∈(0,+∞)]可以求某些函數(shù)的值域,不過應(yīng)注意條件“一正二定三相等”有時(shí)需用到平方等技巧。

 。6)判別式法:把y=f(x)變形為關(guān)于x的一元二次方程,利用“△≥0”求值域。其題型特征是解析式中含有根式或分式。

  (7)利用函數(shù)的單調(diào)性求值域:當(dāng)能確定函數(shù)在其定義域上(或某個(gè)定義域的子集上)的單調(diào)性,可采用單調(diào)性法求出函數(shù)的值域。

 。8)數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)的值域:利用函數(shù)所表示的幾何意義,借助于幾何方法或圖象,求出函數(shù)的值域,即以數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的值域。

  2、求函數(shù)的最值與值域的區(qū)別和聯(lián)系

  求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的,事實(shí)上,如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最。ù螅⿺(shù),這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最。ù螅┲。因此求函數(shù)的最值與值域,其實(shí)質(zhì)是相同的,只是提問的角度不同,因而答題的方式就有所相異。

  如函數(shù)的值域是(0,16],最大值是16,無最小值。再如函數(shù)的值域是(—∞,—2]∪[2,+∞),但此函數(shù)無最大值和最小值,只有在改變函數(shù)定義域后,如x>0時(shí),函數(shù)的最小值為2?梢姸x域?qū)瘮?shù)的值域或最值的影響。

  3、函數(shù)的最值在實(shí)際問題中的應(yīng)用

  函數(shù)的最值的應(yīng)用主要體現(xiàn)在用函數(shù)知識求解實(shí)際問題上,從文字表述上常常表現(xiàn)為“工程造價(jià)最低”,“利潤最大”或“面積(體積)最大(最。钡戎T多現(xiàn)實(shí)問題上,求解時(shí)要特別關(guān)注實(shí)際意義對自變量的制約,以便能正確求得最值。

  (四)、函數(shù)的奇偶性

  1、函數(shù)的奇偶性的定義:對于函數(shù)f(x),如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(—x)=—f(x)(或f(—x)=f(x)),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)(或偶函數(shù))。

  正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義,要注意兩點(diǎn):(1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件;(2)f(x)=—f(x)或f(—x)=f(x)是定義域上的恒等式。(奇偶性是函數(shù)定義域上的整體性質(zhì))。

  2、奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)。為了便于判斷函數(shù)的奇偶性,有時(shí)需要將函數(shù)化簡或應(yīng)用定義的等價(jià)形式。

函數(shù)知識點(diǎn)11

  1.函數(shù)的定義

  函數(shù)是高考數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容,學(xué)習(xí)函數(shù)需要首先掌握函數(shù)的各個(gè)知識點(diǎn),然后運(yùn)用函數(shù)的各種性質(zhì)來解決具體的問題。

  設(shè)A、B是非空的數(shù)集,如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng),那么就稱f:A-B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù),記作y=f(x),xA

  2.函數(shù)的定義域

  函數(shù)的定義域分為自然定義域和實(shí)際定義域兩種,如果給定的函數(shù)的解析式(不注明定義域),其定義域應(yīng)指的是使該解析式有意義的自變量的取值范圍(稱為自然定義域),如果函數(shù)是有實(shí)際問題確定的,這時(shí)應(yīng)根據(jù)自變量的.實(shí)際意義來確定,函數(shù)的值域是由全體函數(shù)值組成的集合。

  3.求解析式

  求函數(shù)的解析式一般有三種種情況:

 。1)根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)關(guān)系式,這種情況需引入合適的變量,根據(jù)數(shù)學(xué)的有關(guān)知識找出函數(shù)關(guān)系式。

 。2)有時(shí)體中給出函數(shù)特征,求函數(shù)的解析式,可用待定系數(shù)法。

 。3)換元法求解析式,f[h(x)]=g(x)求f(x)的問題,往往可設(shè)h(x)=t,從中解出x,代入g(x)進(jìn)行換元來解。掌握求函數(shù)解析式的前提是,需要對各種函數(shù)的性質(zhì)了解且熟悉。

  目前我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了常數(shù)函數(shù)、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)以及由以上幾種函數(shù)加減乘除,或者復(fù)合的一些相對較復(fù)雜的函數(shù),但是這種函數(shù)也是初等函數(shù)。

函數(shù)知識點(diǎn)12

  1. 函數(shù)的奇偶性

  (1)若f(x)是偶函數(shù),那么f(x)=f(-x) ;

  (2)若f(x)是奇函數(shù),0在其定義域內(nèi),則 f(0)=0(可用于求參數(shù));

  (3)判斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價(jià)形式:f(x)±f(-x)=0或 (f(x)≠0);

  (4)若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜,應(yīng)先化簡,再判斷其奇偶性;

  (5)奇函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性;

  2. 復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問題

  (1)復(fù)合函數(shù)定義域求法:若已知 的定義域?yàn)閇a,b],其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定義域?yàn)閇a,b],求 f(x)的定義域,相當(dāng)于x∈[a,b]時(shí),求g(x)的值域(即 f(x)的定義域);研究函數(shù)的問題一定要注意定義域優(yōu)先的原則。

  (2)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由“同增異減”判定;

  3.函數(shù)圖像(或方程曲線的對稱性)

  (1)證明函數(shù)圖像的對稱性,即證明圖像上任意點(diǎn)關(guān)于對稱中心(對稱軸)的對稱點(diǎn)仍在圖像上;

  (2)證明圖像C1與C2的對稱性,即證明C1上任意點(diǎn)關(guān)于對稱中心(對稱軸)的對稱點(diǎn)仍在C2上,反之亦然;

  (3)曲線C1:f(x,y)=0,關(guān)于y=x+a(y=-x+a)的對稱曲線C2的方程為f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);

  (4)曲線C1:f(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對稱曲線C2方程為:f(2a-x,2b-y)=0;

  (5)若函數(shù)y=f(x)對x∈R時(shí),f(a+x)=f(a-x)恒成立,則y=f(x)圖像關(guān)于直線x=a對稱;

  (6)函數(shù)y=f(x-a)與y=f(b-x)的圖像關(guān)于直線x= 對稱;

  4.函數(shù)的周期性

  (1)y=f(x)對x∈R時(shí),f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x) (a0)恒成立,則y=f(x)是周期為2a的周期函數(shù);

  (2)若y=f(x)是偶函數(shù),其圖像又關(guān)于直線x=a對稱,則f(x)是周期為2︱a︱的周期函數(shù);

  (3)若y=f(x)奇函數(shù),其圖像又關(guān)于直線x=a對稱,則f(x)是周期為4︱a︱的周期函數(shù);

  (4)若y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0),(b,0)對稱,則f(x)是周期為2 的`周期函數(shù);

  (5)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a,x=b(a≠b)對稱,則函數(shù)y=f(x)是周期為2 的周期函數(shù);

  (6)y=f(x)對x∈R時(shí),f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ,則y=f(x)是周期為2 的周期函數(shù);

  5.

  方程k=f(x)有解 k∈D(D為f(x)的值域);

  6.

  a≥f(x) 恒成立 a≥[f(x)]max,; a≤f(x) 恒成立 a≤[f(x)]min;

  7.

  (1) (a0,a≠1,b0,n∈R+);

  (2) l og a N= ( a0,a≠1,b0,b≠1);

  (3) l og a b的符號由口訣“同正異負(fù)”記憶;

  (4) a log a N= N ( a0,a≠1,N

  8. 判斷對應(yīng)是否為映射時(shí),抓住兩點(diǎn):

  (1)A中元素必須都有象且唯一;

  (2)B中元素不一定都有原象,并且A中不同元素在B中可以有相同的象;

  9. 能熟練地用定義證明函數(shù)的單調(diào)性,求反函數(shù),判斷函數(shù)的奇偶性。

  10.對于反函數(shù),應(yīng)掌握以下一些結(jié)論:

  (1)定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù);

  (2)奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù);

  (3)定義域?yàn)榉菃卧丶呐己瘮?shù)不存在反函數(shù);

  (4)周期函數(shù)不存在反函數(shù);

  (5)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)具有相同的單調(diào)性;

  (5) y=f(x)與y=f-1(x)互為反函數(shù),設(shè)f(x)的定義域?yàn)锳,值域?yàn)锽,則有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A).

  11.處理二次函數(shù)的問題勿忘數(shù)形結(jié)合;二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值,求最值問題用“兩看法”:一看開口方向;二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系;

  12. 依據(jù)單調(diào)性,利用一次函數(shù)在區(qū)間上的保號性可解決求一類參數(shù)的范圍問題

  13. 恒成立問題的處理方法:(1)分離參數(shù)法;(2)轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根的分布列不等式(組)求解;

函數(shù)知識點(diǎn)13

  一:函數(shù)及其表示

  知識點(diǎn)詳解文檔包含函數(shù)的概念、映射、函數(shù)關(guān)系的判斷原則、函數(shù)區(qū)間、函數(shù)的三要素、函數(shù)的定義域、求具體或抽象數(shù)值的函數(shù)值、求函數(shù)值域、函數(shù)的表示方法等

  1. 函數(shù)與映射的區(qū)別:

  2. 求函數(shù)定義域

  常見的用解析式表示的函數(shù)f(x)的定義域可以歸納如下:

 、佼(dāng)f(x)為整式時(shí),函數(shù)的定義域?yàn)镽.

  ②當(dāng)f(x)為分式時(shí),函數(shù)的定義域?yàn)槭狗质椒帜覆粸榱愕膶?shí)數(shù)集合。

  ③當(dāng)f(x)為偶次根式時(shí),函數(shù)的定義域是使被開方數(shù)不小于0的實(shí)數(shù)集合。

 、墚(dāng)f(x)為對數(shù)式時(shí),函數(shù)的定義域是使真數(shù)為正、底數(shù)為正且不為1的實(shí)數(shù)集合。

 、萑绻鹒(x)是由幾個(gè)部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的,那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義的實(shí)數(shù)集合,即求各部分有意義的實(shí)數(shù)集合的交集。

 、迯(fù)合函數(shù)的定義域是復(fù)合的各基本的函數(shù)定義域的交集。

 、邔τ谟蓪(shí)際問題的背景確定的函數(shù),其定義域除上述外,還要受實(shí)際問題的制約。

  3. 求函數(shù)值域

  (1)、觀察法:通過對函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察,結(jié)合函數(shù)的解析式,求得函數(shù)的值域;

  (2)、配方法;如果一個(gè)函數(shù)是二次函數(shù)或者經(jīng)過換元可以寫成二次函數(shù)的形式,那么將這個(gè)函數(shù)的右邊配方,通過自變量的范圍可以求出該函數(shù)的值域;

  (3)、判別式法:

  (4)、數(shù)形結(jié)合法;通過觀察函數(shù)的圖象,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法得到函數(shù)的值域;

  (5)、換元法;以新變量代替函數(shù)式中的某些量,使函數(shù)轉(zhuǎn)化為以新變量為自變量的函數(shù)形式,進(jìn)而求出值域;

  (6)、利用函數(shù)的單調(diào)性;如果函數(shù)在給出的定義域區(qū)間上是嚴(yán)格單調(diào)的.,那么就可以利用端點(diǎn)的函數(shù)值來求出值域;

  (7)、利用基本不等式:對于一些特殊的分式函數(shù)、高于二次的函數(shù)可以利用重要不等式求出函數(shù)的值域;

  (8)、最值法:對于閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數(shù)的最值,可得到函數(shù)y的值域;

  (9)、反函數(shù)法:如果函數(shù)在其定義域內(nèi)存在反函數(shù),那么求函數(shù)的值域可以轉(zhuǎn)化為求反函數(shù)的定義域。

函數(shù)知識點(diǎn)14

  高一數(shù)學(xué)上學(xué)期知識點(diǎn):冪函數(shù)

  定義:

  形如y=x^a(a為常數(shù))的函數(shù),即以底數(shù)為自變量冪為因變量,指數(shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。

  定義域和值域:

  當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí),冪函數(shù)的定義域的不同情況如下:如果a為任意實(shí)數(shù),則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果a為負(fù)數(shù),則x肯定不能為0,不過這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根[據(jù)q的奇偶性來確定,即如果同時(shí)q為偶數(shù),則x不能小于0,這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果同時(shí)q為奇數(shù),則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。當(dāng)x為不同的數(shù)值時(shí),冪函數(shù)的值域的不同情況如下:在x大于0時(shí),函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。在x小于0時(shí),則只有同時(shí)q為奇數(shù),函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。而只有a為正數(shù),0才進(jìn)入函數(shù)的值域

  性質(zhì):

  對于a的取值為非零有理數(shù),有必要分成幾種情況來討論各自的特性:

  首先我們知道如果a=p/q,q和p都是整數(shù),則x^(p/q)=q次根號(x的p次方),如果q是奇數(shù),函數(shù)的定義域是R,如果q是偶數(shù),函數(shù)的定義域是[0,+∞)。當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時(shí),設(shè)a=-k,則x=1/(x^k),顯然x≠0,函數(shù)的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制來源于兩點(diǎn),一是有可能作為分母而不能是0,一是有可能在偶數(shù)次的根號下而不能為負(fù)數(shù),那么我們就可以知道:

  排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能,即對于x>0,則a可以是任意實(shí)數(shù);

  排除了為0這種可能,即對于x<0 x="">0的所有實(shí)數(shù),q不能是偶數(shù);

  排除了為負(fù)數(shù)這種可能,即對于x為大于且等于0的所有實(shí)數(shù),a就不能是負(fù)數(shù)。

  總結(jié)起來,就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí),冪函數(shù)的定義域的不同情況如下:

  如果a為任意實(shí)數(shù),則函數(shù)的`定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);

  如果a為負(fù)數(shù),則x肯定不能為0,不過這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來確定,即如果同時(shí)q為偶數(shù),則x不能小于0,這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果同時(shí)q為奇數(shù),則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。

  在x大于0時(shí),函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。

  在x小于0時(shí),則只有同時(shí)q為奇數(shù),函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。

  而只有a為正數(shù),0才進(jìn)入函數(shù)的值域。

  由于x大于0是對a的任意取值都有意義的,因此下面給出冪函數(shù)在第一象限的各自情況.

  可以看到:

  (1)所有的圖形都通過(1,1)這點(diǎn)。

  (2)當(dāng)a大于0時(shí),冪函數(shù)為單調(diào)遞增的,而a小于0時(shí),冪函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)。

  (3)當(dāng)a大于1時(shí),冪函數(shù)圖形下凹;當(dāng)a小于1大于0時(shí),冪函數(shù)圖形上凸。

  (4)當(dāng)a小于0時(shí),a越小,圖形傾斜程度越大。

  (5)a大于0,函數(shù)過(0,0);a小于0,函數(shù)不過(0,0)點(diǎn)。

  (6)顯然冪函數(shù)無界。

函數(shù)知識點(diǎn)15

  1、變量與常量

  在某一變化過程中,可以取不同數(shù)值的量叫做變量,數(shù)值保持不變的量叫做常量。

  一般地,在某一變化過程中有兩個(gè)變量x與y,如果對于x的每一個(gè)值,y都有唯一確定的值與它對應(yīng),那么就說x是自變量,y是x的函數(shù)。

  2、函數(shù)解析式

  用來表示函數(shù)關(guān)系的'數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式。

  使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體,叫做自變量的取值范圍。

  3、函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點(diǎn)

 。1)解析法

  兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系,有時(shí)可以用一個(gè)含有這兩個(gè)變量及數(shù)字運(yùn)算符號的等式表示,這種表示法叫做解析法。

 。2)列表法

  把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對應(yīng)值列成一個(gè)表來表示函數(shù)關(guān)系,這種表示法叫做列表法。

 。3)圖像法

  用圖像表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖像法。

  4、由函數(shù)解析式畫其圖像的一般步驟

 。1)列表:列表給出自變量與函數(shù)的一些對應(yīng)值。

 。2)描點(diǎn):以表中每對對應(yīng)值為坐標(biāo),在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)。

 。3)連線:按照自變量由小到大的順序,把所描各點(diǎn)用平滑的曲線連接起來。

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