數(shù)學(xué)分析原理和方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用論文
隨著中學(xué)數(shù)學(xué)教育改革的進(jìn)行，中學(xué)數(shù)學(xué)課外活動(dòng)蓬勃開(kāi)展,在中學(xué)活動(dòng)課程中,學(xué)生常常接觸一些中學(xué)數(shù)學(xué)課本以外的知識(shí),數(shù)學(xué)奧林匹克在中學(xué)活躍了學(xué)習(xí)空氣,同時(shí)也對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教師提出了更新、更高的要求,數(shù)學(xué)分析和其他一些高等數(shù)學(xué)的知識(shí)在其中發(fā)揮著更加突出的作用。如集合的拆分,組合計(jì)數(shù),遞歸數(shù)列,利用極限推證不等式,用介值定理求方程的近似解等。許多課外活動(dòng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題,其內(nèi)容有高等數(shù)學(xué)的背景,現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn),有高等數(shù)學(xué)的思想方法,但其解法又是初等而又十分巧妙的，文章是對(duì)數(shù)學(xué)分析課程在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用作簡(jiǎn)要探討。
1微分學(xué)原理、方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用
在中學(xué)數(shù)學(xué)中,要作出函數(shù)的圖形,除了利用極易判斷出來(lái)的函數(shù)的單調(diào)性以及可明顯看出的一些極值點(diǎn)等性質(zhì)外,最主要的還是依靠描點(diǎn)法作函數(shù)的圖形，如此作出的圖形究竟是不是該函數(shù)的真正圖形是無(wú)法肯定的。而在數(shù)學(xué)分析中，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性,求出極值點(diǎn)和拐點(diǎn),再利用極限求漸近線，就能精確地畫(huà)出函數(shù)的草圖,所以可用微分學(xué)原理和方法指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性中學(xué)數(shù)學(xué)討論函數(shù)的單調(diào)性一般只能根據(jù)定義,計(jì)算很繁瑣,對(duì)某些函數(shù)甚至無(wú)法判別,而根據(jù)微分學(xué)中嚴(yán)格單調(diào)的充分條件的定理“若/對(duì)乂?(a,b),有f(X>0威f(X<0),則函數(shù)f(X在(a,b內(nèi)嚴(yán)格增加或嚴(yán)格減少)�！眲t可使解法簡(jiǎn)化,并能使問(wèn)題得以深化和拓展。
(2證明不等式。不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)中占據(jù)著重要地位,這體現(xiàn)于它在解方程（如解不定方程、三角方程、對(duì)數(shù)方程等)和有關(guān)函數(shù)的問(wèn)題、三角證明題、極值、條件極值、幾何證明題等諸方面的應(yīng)用。不等式的證明方法多種多樣,沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的模式。初等數(shù)學(xué)常用的方法是恒等變形、數(shù)學(xué)歸納法、利用二次型、使用重要不等式,其中進(jìn)行巧妙的恒等變形,形成非負(fù)的項(xiàng)或者湊成可利用的重要不等式洳Vb等)是極有生命力和創(chuàng)造力的方法,但這里往往要有較高的技巧。利用微分中值定理、函數(shù)的單調(diào)性、定積分的性質(zhì)等有關(guān)知識(shí),可使不等式的證明過(guò)程大大簡(jiǎn)化。
2積分法原理和方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用
積分學(xué)是由不定積分和定積分兩部分組成，不定積分是從逆運(yùn)算的角度把積分看作微分的逆運(yùn)算而定義的。而定積分是從極限的角度把定積分看作是特殊類(lèi)型的極限加以定義的,這兩類(lèi)積分從定義形式上看截然不同，但Newton-Leibniz的微積分基本定理揭示了它們的內(nèi)在聯(lián)系，使得求一個(gè)和式極限這個(gè)相當(dāng)困難的定積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為通過(guò)求不定積分來(lái)加以解決,從而使兩者成為不可分割的整體,在理論和應(yīng)用上取得了長(zhǎng)足的發(fā)展。單從數(shù)學(xué)分析來(lái)看,定積分不僅對(duì)求面積、弧長(zhǎng)、體積、近似計(jì)算等問(wèn)題十分有用,而且與數(shù)學(xué)分析的另-組成部分--級(jí)數(shù)之間建立了聯(lián)系。
定積分除具有具體應(yīng)用的優(yōu)勢(shì)外，更具有方法上的指導(dǎo)意義。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，對(duì)一些規(guī)則平面圖形或空間立體的`面積、體積和表面積給出計(jì)算的公式,但其中相當(dāng)一部分公式無(wú)法給出推導(dǎo)的方法，在研究體積計(jì)算問(wèn)題時(shí)常用的一個(gè)重要定理--祖暅定理也只能當(dāng)作公理介紹，并由它以及長(zhǎng)方體的體積公式推出柱、錐、臺(tái)、球等體積公式。而在數(shù)學(xué)分析中,有關(guān)面積、體積的計(jì)算完全可利用積分或重積分精確地計(jì)算出來(lái),祖WS定理、柱、錐、臺(tái)、球等體積公式只須用定積分的定義便可簡(jiǎn)捷地給出證明。中學(xué)數(shù)學(xué)教師有了數(shù)學(xué)分析作為工具,在遇到有關(guān)面積、體積的計(jì)算問(wèn)題時(shí),可先用數(shù)學(xué)分析的方法求出解答,這為選擇適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法指明了方向。
3級(jí)數(shù)理論在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用
級(jí)數(shù)理論同樣是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重要內(nèi)容，利用函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)式可進(jìn)行近似計(jì)算，中學(xué)數(shù)學(xué)用表中的三角函數(shù)表、常用對(duì)數(shù)表等均是利用級(jí)數(shù)理論求出其近似值來(lái)制作。中學(xué)教師具備了這些知識(shí)后，在日常教學(xué)中就不但能教學(xué)生如何查表,還可說(shuō)明造表的理論依據(jù),激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。另外,還可用于講一些常數(shù)如數(shù)e,數(shù)+)的超越性等,為開(kāi)展中學(xué)數(shù)學(xué)課外活動(dòng)提供素材。
總之,利用數(shù)學(xué)分析的原理和方法,可以改變我們對(duì)一些問(wèn)題的思維方式,拓寬我們的解題思路。中學(xué)數(shù)學(xué)教師在講授上述內(nèi)容時(shí),可先用數(shù)學(xué)分析的方法求出答案,做到心中有數(shù),然后再根據(jù)中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí),結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況,設(shè)計(jì)出既不違反科學(xué),又利于后續(xù)課程學(xué)習(xí),并且最易為學(xué)生接受的最佳教學(xué)方案,這樣必能收到理想的教學(xué)效果。
把數(shù)學(xué)分析的思想、方法、知識(shí)應(yīng)用于解決中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題上,能起到以簡(jiǎn)馭繁的作用,尤其是在不等式與恒等式的證明、求函數(shù)極值與切線及單調(diào)區(qū)間、方程根的討論、研究函數(shù)的性態(tài)與作圖以及解決實(shí)際問(wèn)題等方便,不僅可以簡(jiǎn)化解法,而且能使問(wèn)題的研究更為深入、全面。然而,文章對(duì)此研究的并不完善,仍有繼續(xù)研究的空間。
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