2017華杯賽試題及答案
１．?dāng)z制組從A市到B市有一天的路程，計(jì)劃上午比下午多走100千米到C市吃午飯，由于堵車，中午才趕到一個(gè)小鎮(zhèn)，只行駛了原計(jì)劃的三分之一，過了小鎮(zhèn)，汽車趕了400千米，傍晚才停下來休息，司機(jī)說，再走從C市到這里路程的三分之一就到達(dá)目的地了.問:A、B兩市相距多少千米？
2．問：（a）1995年全年有幾個(gè)星期日？全年有幾個(gè)月有五個(gè)星期日？
（b）1996年全年有幾個(gè)星期日？全年有幾個(gè)月有五個(gè)星期日？
3． 甲、乙、丙三個(gè)班人數(shù)相同，在班之間舉行象棋比賽，將各班同學(xué)都按1，2，3，，編號(hào)．當(dāng)兩個(gè)班比賽時(shí)，具有相同編號(hào)的同學(xué)在同一臺(tái)對(duì)壘，在甲、乙兩班 比賽時(shí)，有15臺(tái)是男、女生對(duì)壘；在乙、丙兩班比賽時(shí)，有9臺(tái)是男、女生對(duì)壘．試說明在甲、丙兩班比賽時(shí)，男、女生對(duì)壘的臺(tái)數(shù)不會(huì)超過24．什么情況下， 正好是24？
4．用0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字，組成四位數(shù)，每個(gè)四位數(shù)中的數(shù)字不同（如1023，2341），求全體這樣的四位數(shù)之和．
5． 某幼兒園的小班人數(shù)最少，中班有27人，大班比小班多6人，春節(jié)分橘子25箱，每箱橘子不超過60個(gè)，不少于50個(gè)，橘子總數(shù)的個(gè)位數(shù)是7，若每人分19 個(gè)，則橘子數(shù)不夠，現(xiàn)在大班每人比中班每人多分一個(gè)，中班每人比小班每人多分一個(gè)，剛好分完，問這時(shí)大班每人分多少橘子？小班有多少人？
6．一個(gè)圓周上有12個(gè)點(diǎn)，，，，．以它們?yōu)轫旤c(diǎn)連三角形，使每個(gè)點(diǎn)恰是一個(gè)三角形的頂點(diǎn)，且各個(gè)三角形的邊都不相交．問有多少種連法？
參考答案
1．A，B兩市相距600千米 2．（a）1995年共有53個(gè)星期日，全年有五個(gè)月有五個(gè)星期日，（b）1996年共有52個(gè)星期日，全年只有四個(gè)月有五個(gè)星期日． 3．略 4．259980 5．大班每人分得18個(gè)橘子；小班有25人． 6．共有55種不同的連法
1.【解】如圖所示．設(shè)小鎮(zhèn)為D點(diǎn)，傍晚到達(dá)E點(diǎn)，F(xiàn)為AB中點(diǎn).
AD是AC的三分之一，即DC＝2×AD，EB是CE的二分之一，即CE＝2×EB，所以DE＝DC＋CE＝2×(AD十EB)
已知DE＝400，所以AD＋EB＝400÷2＝200，從而AB＝400＋200＝600(千米)
答：A、B兩市相距600千米
【注】本題中，“計(jì)劃上午比下午多走100千米”這一條件是多余的
2.【解】(a)1995年1月1日是星期日，1995年全年有365天，每7天有且僅有一個(gè)星期日7×52＝364，因此，從1995年1 11 2日到1995年12月31日．這364天中有52個(gè)星期日，加上1995年1月1日這個(gè)星期日，共是53個(gè)星期日.
最小的月有28天，最大的月有31天，因此無論哪個(gè)月都最少有4個(gè)星期日，最多有5個(gè)星期日.53＝12×4＋5，因此，1995年中有五個(gè)月有五個(gè)星期日.
(b)1995年1月1日是星期日，經(jīng)過364天后，1995年12月31日也是星期日.所以1996年1月1日是星期一.1996年是閏年，2月有29天，經(jīng)過364天后，1996年12月30日是星期一，所以1996年全年共有52個(gè)星期日，全年只有四個(gè)月有五個(gè)星期日.
3.【解】我們可以把乙班同學(xué)分成三部分，第一部分為與甲班相同編號(hào)的同學(xué)異性者（由題設(shè)可知這部分乙班同學(xué)為15人），第二部分為與丙班相同編號(hào)的同學(xué)異性者（由題設(shè)可知這部分乙班同學(xué)為9人），其余為第三部分.設(shè)A同學(xué)屬于第三部分，他與甲班相同編號(hào)的同學(xué)通性，與丙班相同編號(hào)的同學(xué)也為同性，所以，與A相同編號(hào)的甲班和丙班同學(xué)必為同性.由此可知，甲、丙兩班比賽時(shí)，男、女生對(duì)壘的臺(tái)數(shù)不會(huì)超過24.只有當(dāng)與乙班第一部分相同編號(hào)的丙班同學(xué)均與乙班同學(xué)同性，并且與乙班第二部分相同編號(hào)的甲班同學(xué)也均與乙班同學(xué)同性時(shí)，甲、丙兩班比賽中，男、女生對(duì)壘的臺(tái)數(shù)正好是24.
4.【解】千位數(shù)字是1的有4×3×2＝24個(gè)(因?yàn)榘傥粩?shù)字可從0、2、3、4中選擇，有4種，百位確定后，十位有3種選擇，百位，十位確定后，個(gè)位有2種選擇)．千位數(shù)字是2、3、4的也有24種。
百位數(shù)字是1的有3×3×2＝18個(gè)(因?yàn)榍粩?shù)字可從2、3、4中選擇，有3種。千位確定后，十位數(shù)字也有3種選擇(可以為0)，千位、十位確定后，個(gè)位數(shù)字有兩種選擇)百位數(shù)字是2、3、4的也有18個(gè)。同樣，十位數(shù)字、個(gè)位數(shù)字是1、2、3、4的也各有18個(gè) 因此，所求的和是(1000＋2000＋3000＋4000)×24＋18×(1＋2＋3＋4)×(1＋10＋100)＝259980
5.【解】第一步，估計(jì)全園人數(shù)的上界
因?yàn)樾“嗳藬?shù)少于中班27人，最多為26人所以大班最多為32人，全園人數(shù)最多為26＋27＋32＝85(人)．
第二步，計(jì)算中班每人分得的橘子數(shù)．
假如大班每人拿出一個(gè)橘子，小班每人多分一個(gè)橘子，全園小朋友每人分得橘子一樣多，還余6個(gè)因此19＞中班每人分得橘子數(shù)＝＞＞14.6
所以中班每人分得橘子數(shù)只可能是15，16，17，18.
橘子總數(shù)的個(gè)位數(shù)是7，(橘子總數(shù)－6)的個(gè)位數(shù)字是1，所以(全園人數(shù)×中班每人分得橘子教)的個(gè)位數(shù)字是1.因此，中班分得橘子數(shù)不能是15，16，18，只能是17.
第三步，計(jì)算全園人數(shù) 85≥全園人數(shù)＝＞＞73.
再由(全園人數(shù)×17)的個(gè)位數(shù)字是1，可知全園人數(shù)的個(gè)位數(shù)字是3，從而：全園人數(shù)＝83(人)
第四步，計(jì)算小班人數(shù)
大班人數(shù)＋小班人數(shù)＝83－27＝56(人)，大班人數(shù)一小班人數(shù)＝6(人)
所以小班人數(shù)＝＝25(人)
答：大班每人分得18個(gè)橘子，小班有25人.
6.【解】我們采用遞推的方法
(1)如果圃上只有3個(gè)點(diǎn)；那么只有一種連法
(2)如果圓上有6個(gè)點(diǎn)，除點(diǎn)所在三角形的三頂點(diǎn)外，剩下的三個(gè)點(diǎn)一定只能在所在三角形的一條邊所對(duì)應(yīng)的圓弧上，表1給出這時(shí)有可能的連法,
表1:
共有3種連法
(3)如果圓上有9個(gè)點(diǎn)，考慮所在的三角形此時(shí)，其余的6個(gè)點(diǎn)可能分布在①所在三角形的一個(gè)邊所對(duì)的弧上；②也可能三個(gè)點(diǎn)在一個(gè)邊所對(duì)應(yīng)的弧上，另三個(gè)點(diǎn)在另一邊所對(duì)的弧上。在表2中用“＋”號(hào)表示它們分布在不同的邊所對(duì)的弧。如果是情形①，則由(2)，這六個(gè)點(diǎn)有三種連法；如果是情形②，則由①，每三個(gè)點(diǎn)都只能有一種連法.
表2
共有12種連法.
(4)最后考慮圓周上有12個(gè)點(diǎn)。同樣考慮
�、倜咳齻�(gè)點(diǎn)在所在三角形．剩下9個(gè)點(diǎn)的分布有三種可能，所在三角形的一條邊對(duì)應(yīng)的孤上；②有6個(gè)點(diǎn)是在一段弧上，另三點(diǎn)在另一段弧上；③9個(gè)點(diǎn)都在同一段孤上。得到表3．
表3
共有12＋3＋3＋12＋3＋1＋3＋3＋3＋12＝55種 答：共有55種不同的連法
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