關(guān)于高三數(shù)學(xué)冪函數(shù)與二次函數(shù)的復(fù)習(xí)題
形如y=xa(a為實(shí)數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量，冪為因變量，指數(shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)，以下是高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)冪函數(shù)與二次函數(shù)專題檢測，請(qǐng)大家仔細(xì)進(jìn)行檢測。
一、選擇題
1.(2013寶雞模擬)已知m2,點(diǎn)(m-1,y1),(m,y2),(m+1,y3)都在二次函數(shù)y=x2-2x的圖像上,則( )
(A)y1ca (B)ac
(C)cb (D)ab
6.設(shè)abc0,二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像可能是( )
7.函數(shù)f(x)=ax2+(a-3)x+1在區(qū)間[-1,+)上是減少的,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
(A)[-3,0)
(B)(-,-3]
(C)[-2,0]
(D)[-3,0]
8.(2013安慶模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,則關(guān)于x的方程f(x)=x的解的個(gè)數(shù)是( )
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
9.(2013南昌模擬)設(shè)b0,二次函數(shù)y=ax2+bx+a2-1的圖像為下列之一.
則a的值為( )
(A)1
(B)2
(C)-1
(D)-2
10.(能力挑戰(zhàn)題)若不等式x2+ax+10對(duì)于一切x(0,]恒成立,則a的最小值是( )
(A)0
(B)2
(C)-1
(D)-3
二、填空題
11.若二次函數(shù)f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,bR)是偶函數(shù),且它的值域?yàn)?-,4],則該函數(shù)的解析式f(x)= .
12.(2013上饒模擬)已知關(guān)于x的方程x2+a|x|+a2-9=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)a的值為.
13.二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為正,且對(duì)任意x恒有f(2+x)=f(2-x),若f(1-2x2)0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
三、解答題
15.(能力挑戰(zhàn)題)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx(a,b為常數(shù),且a0),滿足條件f(1+x)=f(1-x),且方程f(x)=x有等根.
(1)求f(x)的解析式.
(2)是否存在實(shí)數(shù)m,n(m2,
1(，
由函數(shù)y=()x在R上是減函數(shù)知((，
ab.
6.【解析】選D.對(duì)于選項(xiàng)A,C,都有abc0,故排除A,C.對(duì)于選項(xiàng)B,D,都有-0,即ab0,則當(dāng)c0時(shí),abc0.
7.【解析】選D.當(dāng)a=0時(shí),f(x)=-3x+1顯然成立,
當(dāng)a0時(shí),需解得-30,
綜上可得-30.
【誤區(qū)警示】本題易忽視a=0這一情況而誤選A,失誤的原因是將關(guān)于x的函數(shù)誤認(rèn)為是二次函數(shù).
8.【解析】選C.由f(-4)=f(0),f(-2)=-2得
f(x)=
當(dāng)x0時(shí),由f(x)=x得x2+4x+2=x,
解得x=-2或x=-1.
當(dāng)x0時(shí),由f(x)=x得x=2.
故關(guān)于x的方程f(x)=x的解的'個(gè)數(shù)是3個(gè).
9.【解析】選C.由b0知,二次函數(shù)對(duì)稱軸不是y軸,結(jié)合二次函數(shù)的開口方向及對(duì)稱軸位置,二次函數(shù)圖像是第③個(gè).從而a2-1=0且a0,a=-1.
10.【解析】選C.方法一:設(shè)g(a)=ax+x2+1,
∵x(0,],g(a)為增加的.
當(dāng)x=時(shí)滿足:a++10即可,解得a-.
方法二:由x2+ax+10得a-(x+)在x(0,]上恒成立,
令g(x)=-(x+),則知g(x)在(0,]上是增加的,
g(x)max=g()=-,a-.
11.【思路點(diǎn)撥】化簡f(x),函數(shù)f(x)為偶函數(shù),則一次項(xiàng)系數(shù)為0可求b.值域?yàn)?-,4],則最大值為4,可求2a2,即可求出解析式.
【解析】∵f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x+2a2是偶函數(shù),則其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱.
2a+ab=0,b=-2或a=0(舍去).
f(x)=-2x2+2a2,又f(x)的值域?yàn)?-,4],
2a2=4,f(x)=-2x2+4.
答案:-2x2+4
12.【解析】設(shè)f(x)=x2+a|x|+a2-9,
則f(-x)=(-x)2+a|-x|+a2-9
=x2+a|x|+a2-9=f(x),
即函數(shù)f(x)是偶函數(shù).
由題意知,f(0)=0,則a2-9=0,
a=3或a=-3,
經(jīng)檢驗(yàn)a=3符合題意,a=-3不合題意,故a=3.
答案:3
13.【思路點(diǎn)撥】由題意知二次函數(shù)的圖像開口向上,且關(guān)于直線x=2對(duì)稱,則距離對(duì)稱軸越遠(yuǎn),函數(shù)值越大,依此可轉(zhuǎn)化為不等式問題.
【解析】由f(2+x)=f(2-x)知x=2為對(duì)稱軸,由于二次項(xiàng)系數(shù)為正的二次函數(shù)中距對(duì)稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大,|1-2x2-2||1+2x-x2-2|,
即|2x2+1||x2-2x+1|,
2x2+10的否定為:對(duì)于區(qū)間[0，1]內(nèi)的任意一個(gè)x都有f(x)0.
即
解得a1或a-2.
二次函數(shù)在區(qū)間[0，1]內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)b，使f(b)0的實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-2，1).
答案:(-2，1)
15.【解析】(1)∵f(x)滿足f(1+x)=f(1-x),
f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱.
而二次函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為x=-,
-=1 ①
又f(x)=x有等根,即ax2+(b-1)x=0有等根,
=(b-1)2=0 ②
由①②得b=1,a=-,f(x)=-x2+x.
(2)∵f(x)=-x2+x=-(x-1)2+.
如果存在滿足要求的m,n,則必須3n,
n.
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